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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 26

Encontre f ' ( a ) .

f (t) = t^4 - 5 t

Passo 1

E aí galera, beleza? Nessa questão, temos achar a derivada de f ( t ) no ponto t = a . Nesse tipo de questão, temos que usar a expressão da derivada em um ponto, que é dessa forma aqui:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h)

Nosso primeiro passo é escrever quem é f ( a ) e quem é f ( a + h ) . Nós temos que:

f (t) = t^4 - 5 t

Fazendo t = a , vamos ter:

f (a) = a^4 - 5 a

Agora, fazendo t = a + h , teremos:

f (a + h) = ( a + h )^4 - 5 ( a + h )

Vamos substituir essas duas expressões no nosso limite, ficando assim:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ([ (a + h)^4 - 5 (a + h) ] - ( a^4 - 5 a ))/(h)

Passo 2

Agora, vamos organizar a nossa expressão para que possamos resolver o limite. Temos bem ali um termo que é (a + h)^4 , e temos que expandi-lo. Podemos escrever esse cara dessa forma aqui:

(a + h)^4 = (a + h)^3 . ( a + h )

Sacou o que eu fiz aí? Escrevi de outra forma para aparecer o produto notável cubo da soma, que já tem a fórmula bem mais conhecida. É bom ter esses produtos notáveis sempre na cabeça para resolver esse tipo de questão! Desenvolvendo, vai ficar assim:

(a + h)^4 = ( a^3 + 3 a^2 h + 3 a h^2 + h^3 ) . ( a + h )

Fazendo a multiplicação no estilo “chuveirinho”, olha como vai ficar:

(a + h)^4 = a^4 + 3 a^3 h + 3 a^2 h^2 + a h^3 + a^3 h + 3 a^2 h^2 + 3 a h^3 + h^4

(a + h)^4 = a^4 + 4 a^3 h + 6 a^2 h^2 + 4 a h^3 + h^4

Agora, podemos substituir a expressão para (a + h)^4 no nosso limite:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ([ (a + h)^4 - 5 (a + h) ] - ( a^4 - 5 a ))/(h)

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ([ ( a^4 + 4 a^3 h + 6 a^2 h^2 + 4 a h^3 + h^4 ) - 5 (a + h) ] - ( a^4 - 5 a ))/(h)

Agora, a gente faz as multiplicações e o jogo de sinal onde tiver que fazer. Saca só:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (a^4 + 4 a^3 h + 6 a^2 h^2 + 4 a h^3 + h^4 - 5 a - 5 h - a^4 + 5 a)/(h)

Olhando essa expressão, ainda podemos dar mais uma arrumada. Dá para cancelar o a^4 com o - a^4 e o - 5 a com o 5 a , ficando assim:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (4 a^3 h + 6 a^2 h^2 + 4 a h^3 + h^4 - 5 h)/(h)

Passo 3

O nosso limite ta pronto para ser resolvido! Primeiro, tentamos fazer a substituição h = 0 na expressão que temos, mas isso vai resultar em uma indeterminação (0)/(0) . A gente pode eliminar essa indeterminação se colocarmos o h em evidência n numerador e cancelarmos com o h do denominador, dá uma olhada:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (h ( 4 a^3 + 6 a^2 h + 4 a h^2 + h^3 - 5 ))/(h)

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) 4 a^3 + 6 a^2 h + 4 a h^2 + h^3 - 5

Agora sim! Podemos fazer a substituição h = 0 para resolver o nosso limite. Olha como vai ficar:

f^' (a) = 4 a^3 + 6 a^2 . 0 + 4 a . 0^2 + 0^3 - 5

f^' (a) = 4 a^3 - 5

Pronto! Resolvemos a questão!

Uma última dica: A maior parte da resolução desses limites envolve muito mais a manipulação das variáveis, produto notável e fatoração do que o conhecimento de limite em si. Se estiver tendo dificuldade, dá uma revisada nesses conteúdos que vais ficar fera! ;)

Resposta

Teremos que f^' (a) = 4 a^3 - 5 .

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