Nos exercícios 25 a 34, ache dy/dx

28.x \* y^2 + 2 \* y^3 = x - 2 \* y

Passo 1

Como não é possível separar essa equação, vamos derivar cada lado implicitamente:

d d x x y 2 + 2 y 3 = d d x x - 2 y

Passo 2

Resolvendo primeiro o lado esquerdo, ficaremos com:

d d x x y 2 + 2 y 3 = d d x x y 2 + d d x 2 y 3

Vamos fazer o primeiro termo, aplicando a Regra do Produto:

d d x x y 2 = d d x ( x ) y 2 + x d d x ( y 2 )

A primeira derivada que apareceu dá pra resolver rapidamente, mas a segunda precisamos aplicar a Regra da Cadeia, primeiro derivamos a função de fora, que é a potência quadrada e não mexemos no y, e então multiplicamos pela derivada de y, que é a função de dentro:

d d x y 2 = 2 y y '

Nosso primeiro termo então será:

d d x x y 2 = y 2 + 2 x y y '

E o segundo termo

d d x 2 y 3

Precisa que a gente aplique a Regra da Cadeia mais uma vez. Então fazemos primeiro a derivada da potência e depois multiplicamos pela derivada da função de dentro, que é o y:

d d x 2 y 3 = 6 y 2 y '

O lado esquerdo do Passo 1 então ficará:

d d x x y 2 + 2 y 3 = y 2 + 2 x y y ' + 6 y 2 y '

Passo 3

Vamos agora resolver o lado direito:

d d x x - 2 y = d d x x - d d x ( 2 y )

Que é mais fácil que a primeira parte, e podemos fazer diretamente:

d d x x - 2 y = 1 - 2 y '

Passo 4

Substituindo os dois lados lá no início da resolução ficaremos com:

d d x x y 2 + 2 y 3 = d d x x - 2 y

y 2 + 2 x y y ' + 6 y 2 y ' = 1 - 2 y '

Separando y’, que é o que buscamos:

2 x y y ' + 6 y 2 y ' + 2 y ' = 1 - y 2

y ' 2 x y + 6 y 2 + 2 = 1 - y 2

y ' = d y d x = 1 - y 2 2 x y + 6 y 2 + 2

Resposta

d y d x = 1 - y 2 2 x y + 6 y 2 + 2

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