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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 37

Encontre (d y)/(d x) :

y = ((x - 5)/(2 x + 1))^3

Passo 1

Por aqui a gente não para não !!

Como resolvemos este monstro?

A primeira coisa, dar nomes que nos ajudem a simplificar isto daqui:

f (x) = (x - 5)^3

g (x) = (2 x + 1)^3

E lembrando da Regra do Quociente:

(d y)/(d x) = (g (x) . (d f ( x ))/(d x) - f ( x ) . (d g ( x ))/(d x))/(g (x)^2)

Vamos começar chamando:

u = x - 5

v = 2 x + 1

Então:

f (u) = u^3

g (v) = v^3

Lembrando que:

(d f ( x ))/(d x) = (d f ( u ))/(d u) . (d u)/(d x)

(d g ( x ))/(d x) = (d g ( v ))/(d v) . (d v)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) e (d v)/(d x) :

(d u)/(d x) = 1

(d v)/(d x) = 2

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( v ) :

(d f ( u ))/(d u) = 3 u^2

(d g ( v ))/(d v) = 3 v^2

E por fim:

(d f ( x ))/(d x) = (3 u^2) . (1)

(d g ( x ))/(d x) = (3 v^2) . (2)

Substituindo u e v :

(d f ( x ))/(d x) = 3 (x - 5)^2

(d g ( x ))/(d x) = 6 (2 x + 1)^2

E agora voltamos lá na Regra do Quociente:

(d y)/(d x) = ([(2 x + 1)^3] . [3 (x - 5)^2] - [(x - 5)^3] . [6 (2 x + 1)^2])/([(2 x + 1)^3]^2)

(d y)/(d x) = (3 (x - 5)^2 (2 x + 1)^3 - 6 (x - 5)^3 (2 x + 1)^2)/((2 x + 1)^6)

Evidenciando alguns termos:

(d y)/(d x) = (3 (x - 5)^2 (2 x + 1)^2 [2 x + 1 - 2 (x - 5)])/((2 x + 1)^6)

(d y)/(d x) = (3 (x - 5)^2 [2 x + 1 - 2 x + 10])/((2 x + 1)^4)

(d y)/(d x) = (3 3 (x - 5)^2)/((2 x + 1)^4)

Essa foi massa demaaais !!

Resposta

(d y)/(d x) = (33 (x - 5)^2)/((2 x + 1)^4)

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