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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 38

Encontre (d y)/(d x) :

y = ((1 + x^2)/(1 - x^2))^(17)

Passo 1

Por aqui a gente não para não !!

Esta questão pode parecer difícil, mas vocês verão que é molezinha !!

Primeiro vamos chamar:

f (x) = (1 + x^2)^(17)

g (x) = (1 - x^2)^(17)

E lembrando da Regra do Quociente:

(d y)/(d x) = (g (x) . (d f ( x ))/(d x) - f ( x ) . (d g ( x ))/(d x))/(g (x)^2)

Vamos começar chamando:

u = 1 + x^2

v = 1 - x^2

Então:

f (u) = u^(17)

g (v) = v^(17)

Lembrando que:

(d f ( x ))/(d x) = (d f ( u ))/(d u) . (d u)/(d x)

(d g ( x ))/(d x) = (d g ( v ))/(d v) . (d v)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) e (d v)/(d x) :

(d u)/(d x) = 2 x

(d v)/(d x) = - 2 x

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( v ) :

(d f ( u ))/(d u) = 17 u^(16)

(d g ( v ))/(d v) = 17 v^(16)

E por fim:

(d f ( x ))/(d x) = (17 u^(16)) . (2 x)

(d g ( x ))/(d x) = (17 v^(16)) . (- 2 x)

Substituindo u e v :

(d f ( x ))/(d x) = 34 x . (1 + x^2)^(16)

(d g ( x ))/(d x) = - 34 x . (1 - x^2)^(16)

E agora voltamos lá na Regra do Quociente:

(d y)/(d x) = ([(1 - x^2)^(17)] . [34 x . (1 + x^2)^(16)] - [(1 + x^2)^(17)] . [- 34 x . (1 - x^2)^(16)])/([(1 - x^2)^(17)]^2)

(d y)/(d x) = (34 x . (1 + x^2)^(16) (1 - x^2)^(17) + 34 x . (1 + x^2)^(17) (1 - x^2)^(16))/((1 - x^2)^(34))

Evidenciando alguns termos:

(d y)/(d x) = (34 x . (1 + x^2)^(16) (1 - x^2)^(1 6) [1 - x^2 + 1 + x^2])/((1 - x^2)^(34))

(d y)/(d x) = (68 x . (1 + x^2)^(16))/((1 - x^2)^(18))

Essa foi massa demaaais !!

Resposta

(d y)/(d x) = (68 x . (1 + x^2)^(16))/((1 - x^2)^(18))

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