Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 29
27 – 30 Encontre e .
29.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com vocêw
Cara, essa questão deu pra gente a função
E pediu pra gente encontrar e , que são a derivadas de primeira e de segunda ordem dessa função.
E repara que essa função é formada por uma fração, então poderemos usar a regra do quociente para encontrar sua derivada.
Para isso, vamos entender a funçõa como sendo formada pela divisão de duas outras funções que chamaremos de e . Veja:
E a função poderá ser entendida como:
Para esse caso a regra do quociente se torna:
Com isso conseguimos achar a derivada de primeira ordem. Depois disso precisaremos encontrar a de segunda ordem derivamos novamente a função que enontrármos. Mas vamos por partes porque ainda não sabemos qual será essa segunda função.
Agora que já sabemos o que fazer. Vamos colocar a mão na massa.
Passo 2
Como nossa função é
E estamos olhando para ela como:
E para achar a derivada precisamo usar a regra:
Teremos:
Derivando temos:
E o vale:
Que derivando, fica:
Para para usar a regra do quociente,
Aplicando na nossa equação:
Multiplicando os termos:
Prontinho. Essa é nossa primeira derivada.
Passo 3
Vamos derivar mais uma vez para encontrarmos , usando a regra do quociente a partir da função
Agora o vai valer:
E derivando, teremos:
Precisamos usar, em duas dessas derivadas, a regra do produto:
E o vale:
Agora o :
A gente não sabe resolver ainda a equação dessa forma, então vamos abrir essa potência:
Dessa forma da pra resolver sem usar a regra da cadeia, que vai ser vista nos próximos capítulos:
Substituindo esses dois valores na expressão:
Podemos tirar em evidência na parte de cima, para cortar com o que tem na parte de baixo:
Simplificando:
Ai não tem muito o que simplificar, podemos deixar assim. E encontramos nossa resposta.