Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 15

Bom pessoal, nessa questão temos a seguinte função:

Podemos reescreve-la como:

E queremos encontrar sua antiderivada, isso é, uma função que quando derivamos resulta em :

E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de é:

onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que quando derivamos encontramos .

Nessa questão, usaremos a regra de antiderivação para polinômios (com ):

E também vale lembrarmos qual a derivada do arcosseno:

Logo, se tivermos:

Sua antiderivada será:

Vamos calcular a antiderivada da função .

Nossa funç��o é:

Para o termo dessa função podemos usar a regra:

Dessa forma, a antiderivada do termo é:

Já para o segundo termo teremos:

Agora basta juntar tudo e não esquecer de somar a constante .

Sendo

Sua antiderivada mais geral é:

Derivando, podemos verificar o resultado:

Então é de fato a antiderivada de .