d) dy/dx = 1 / (1 + x^2) e y(0) = 0

Passo 1

Vamos lá resolver essa questão!

Temos que a primitiva nada mais é que a função que derivamos e chegamos a função mostrada no enunciado. Então beleza, mas qual função que nós derivamos para chegar em 1 1 + x 2   ? Vamos lá!

Temos:

d y d x = 1 1 + x 2 → y ' = 1 1 + x 2

Se queremos saber a função y , teremos que:

y = ∫ 1 1 + x 2 d x

Passo 2

Ao olhar para a função 1 1 + x 2 , devemos pensar em uma função que foi derivada e seu resultado foi esse, essa função que foi derivada será a nossa primitiva. Note que, ao derivarmos a função inversa da tangente, teremos:

d ( arctan ⁡ x ) d x = 1 1 + x 2  

No capítulo 8, podemos ver mais detalhadamente a resolução por partes dessa derivada, dá uma olhadinha la 😉.

Passo 3

Beleza, agora sabemos a função que foi derivada, e ela será a nossa primitiva, porémmmm, carrega consigo uma constante k qualquer, observe:

y = ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + k

Temos que y 0 = 0 , logo:

y 0 = arctan ⁡ 0 + k = 0

Temos que arctan ⁡ 0 = 0 , daí:

k = 0 → y x = arctan ⁡ x

Passo 4

Plotando o gráfico da nossa função y ( x ) , teremos:

Resposta

A nossa função é y x = arctan ⁡ x .

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