Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x .

x = 2 * t^2 + 1 / t, y = 8 * raiz(t), 1 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Tudo bem, pessoal? Para achar a área obtida pela rotação dessa curva em torno do eixo x , a gente vai usar a equação:

S = ∫ a b 2 π y   d s  

Para curvas parametrizadas, usamos

d s = d x d t 2 + d y d t 2 d t  

Dessa forma, a área da superfície é dada por:

S = ∫ a b 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então nós precisamos fazer 3 coisas:

  • Calcular as derivadas
  • Substituir na fórmula de S
  • Integrar

Beleza, vamos fazer essa parte da raiz fora da integral que é melhor!

Passo 2

As derivadas são:

d x d t = 4 t - 1 t 2

d y d t = 8 2 t = 4 t

Agora a gente eleva ao quadrado e soma:

4 t - 1 t 2 2 = 16 t 2 - 8 t + 1 t 4

4 t 2 = 16 t

d x d t 2 + d y d t 2 = 16 t 2 + 8 t + 1 t 4

Nós podemos mexer no termo intermediário para surgir o quadrado perfeito:

d x d t 2 + d y d t 2 = 4 t 2 + 2   4 t   1 t 2 + 1 t 2 2

Daí, escrevemos:

d x d t 2 + d y d t 2 = 4 t + 1 t 2 2

Passo 3

Para finalizar a questão, basta substituir tudo o que fizemos:

S = 2 π ∫ 1 3 8 t   4 t + 1 t 2 2   d t

A raiz quadrada cancela o termo ao quadrado.

S = 2 π ∫ 1 3 8 t 4 t + 1 t 2 d t

Viu como foi útil visualizar o quadrado perfeito? Agora vamos prosseguir na resolução dessa integral aplicando a distributiva e evidenciando as constantes.

S = 16 π ∫ 1 3 4 t 3 2 + t - 3 2   d t

A integral de um polinômio de grau n ≠ 1 nós aprendemos em cálculo 1. Basta aplicar aquela regrinha de integração e obteremos

S = 16 π 8 t 5 2 5 - 2 t 1 3

Vamos escrever

t 5 2 =   t 2 t

para facilitar a nossa simplificação.

S = 16 π 8   t 2 t 5 - 2 t 1 3

S = 16 π 8 3 2 3 5 - 2 3 - 8 5 - 2

S = 16 π 72 3 5 - 2 3 3 - 8 5 - 2

Aguenta aí, já vamos terminar... Para isso, vamos juntar os termos que contém 3 :

S = 16 π 206 3 15 + 2 5

Agora colocamos um fator 2 em evidência no numerador:

S = 32 π 103 3 15 + 1 5

Para finalizar, vamos multiplicar e dividir todos os termos por 15.

  S = 32 π 15 ( 103 3 + 3 )

Prontinho!! 😊

Resposta

  S = 32 π 15 ( 103 3 + 3 )

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