Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 62
Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo .
Passo 1
Tudo bem, pessoal? Para achar a área obtida pela rotação dessa curva em torno do eixo , a gente vai usar a equação:
Para curvas parametrizadas, usamos
Dessa forma, a área da superfície é dada por:
Então nós precisamos fazer 3 coisas:
- Calcular as derivadas
- Substituir na fórmula de
- Integrar
Beleza, vamos fazer essa parte da raiz fora da integral que é melhor!
Passo 2
As derivadas são:
Agora a gente eleva ao quadrado e soma:
Nós podemos mexer no termo intermediário para surgir o quadrado perfeito:
Daí, escrevemos:
Passo 3
Para finalizar a questão, basta substituir tudo o que fizemos:
A raiz quadrada cancela o termo ao quadrado.
Viu como foi útil visualizar o quadrado perfeito? Agora vamos prosseguir na resolução dessa integral aplicando a distributiva e evidenciando as constantes.
A integral de um polinômio de grau nós aprendemos em cálculo 1. Basta aplicar aquela regrinha de integração e obteremos
Vamos escrever
para facilitar a nossa simplificação.
Aguenta aí, já vamos terminar... Para isso, vamos juntar os termos que contém :
Agora colocamos um fator 2 em evidência no numerador:
Para finalizar, vamos multiplicar e dividir todos os termos por 15.
Prontinho!! 😊