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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 8

Resolva as equações diferenciais

(d H)/(d R) = (R H^2 sqrt(1 + R ²))/(ln H)

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

(d H)/(d R) = (R H^2 sqrt(1 + R ²))/(ln H)

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for H vai para um lado, tudo que for R vai para o outro.

(d H)/(d R) = (R H^2 sqrt(1 + R ²))/(ln H)

(ln H)/(H^2) d H = R sqrt(1 + R^2) d R

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

int (ln H)/(H^2) d H = int R sqrt(1 + R^2) d R

Do lado direito podemos fazer o seguinte truque. Pensar numa substituição, onde o argumento da raiz seja a função que vamos substituir.

u = 1 + R^2

d u = 2 R d R -> R d R = (d u)/(2)

Então agora podemos substituir e integrar de um jeito muito mais tranquilo

int (sqrt(u))/(2) d u

Vamos dar uma relembrada rapidinha desse tipo de integral

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Show! Agora podemos seguir em frente

int (sqrt(u))/(2) d u

= (1)/(2) * (2)/(3) * u^(3 // 2)

= (1)/(3) u^(3 // 2)

Para terminar precisamos só voltar de u -> R

(1)/(3) u^(3 // 2) -> (1)/(3) (1 + R^2)^(3 // 2)

Para o lado esquerdo vamos precisar usar um outro truque. Vamos ter que recorrer a Integração por partes. Então se temos u (t) e v ( t ) e derivarmos teremos:

(d)/(d t) u v = u^' v + u v^'

Em seguida, podemos integrar ambos os lados e teremos de volta uv

int (d)/(d t) u v d t = int u^' v + u v^' d t

u v = int u ' v d t + int u v ' d t

int u ' v d t = u v - int u v ' d t

Faremos então u^' = 1 // H^2 e v = ln H

int (ln H)/(H^2) d H = ln H * (- (1)/(H)) - int (- (1)/(H)) * (1)/(H) d H

= - (ln H)/(H) - int - (1)/(H^2) d H

= - (ln H)/(H) - (1)/(H)

= - (ln H + 1)/(H)

UFAA!! Admito que essa deu mais trabalho, mas conseguimos. Vamos unir ambas as partes

(1)/(3) (1 + R^2)^(3 // 2) = - (ln H + 1)/(H)

Essa resposta não está errada, mas podemos deixar ela de forma mais explicita. Só lembre que precisamos adicionar a nossa constante arbitraria.

(1)/(3) (1 + R^2)^(3 // 2) = - (ln H + 1)/(H) + C

(1 + R^2)^((3)/(2)) = - 3 (ln H + 1)/(H) + 3 C

1 + R^2 = (- 3 (ln H + 1)/(H) + 3 C)^(2 // 3)

R^2 = (- 3 (ln H + 1)/(H) + 3 C)^(2 // 3) - 1

R = +- ((- 3 (ln H + 1)/(H) + 3 C)^(2 // 3) - 1)^(1 // 2)

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se multiplicarmos por qualquer valor, não fará a menor diferença. Então não é costume alterar essas constantes. Beleza!

R = +- ((- 3 (ln H + 1)/(H) + C)^(2 // 3) - 1)^(1 // 2)

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

R = +- ((- 3 (ln H + 1)/(H) + C)^(2 // 3) - 1)^(1 // 2)

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