Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 57

Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas

y = sin 2 ⁡ ( x ) ,     y = cos 2 ⁡ ( x ) ,     - π / 4 ≤ x ≤ π / 4

Passo 1

Pra facilitar a visualização, podemos esboçar um gráfico das duas funções ( cos 2 ⁡ x → v e r d e   ,   s e n 2 x → c i n z a )

Então, podemos ver que a área delimitada pelas curvas pode ser escrita como uma função g tal que

g x = cos 2 ⁡ ( x ) - sin 2 ⁡ x ,     - π 4 ≤ x ≤ π 4

Passo 2

Agora, podemos encontrar a área da região delimitada pela função g (pelas duas curvas) tomando a integral no intervalo dado

A r e a = ∫ - π 4 π 4 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x d x

Para resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ ( x ) - sin 2 ⁡ ( x )

Então, podemos substituir

∫ - π 4 π 4 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x d x = ∫ - π 4 π 4 cos ⁡ 2 x d x

Agora, resolvendo pelo método da substituição

Seja u = 2 x , temos que d u / 2 = d x . Vamos calcular também os novos limites de intergração

u i n f e r i o r = 2 - π 4 = - π 2

u s u p e r i o r = 2 π 4 = π 2

∫ - π 4 π 4 cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ u d u = sin ⁡ u - π 2 π 2 = 1 2 sin ⁡ π 2 - sin ⁡ - π 2 = 1 2 1 - - 1 = 1 2 2 = 1

Resposta

Á r e a = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o centro de massa da lâmina limitada pela parábola 2 y 2 = 18 - 3 x , pelo eixo y , se a densidade superficial de massa em qualquer ponto ( x , y ) for 6 - xk g / m ² ².
Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (7) A parábola y = 4 - x ² ² e o eixo x .
Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (8) A parábola x = 2 y - y ² ² e o eixo y .
Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (9) A parábola y = x ² ² e a reta y = 4 .
Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (10) A parábola y ² = 4 x ² , o eixo y e a reta y = 4 .