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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 5

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ x n 2 n - 1  

Passo 1

Fala, galerinha boa! Tudo tranquilinho?

A questão pede o raio e o intervalo de convergência de:

∑ n = 1 ∞ x n 2 n - 1  

Geralmente para encontrar esse raio R e esse intervalo usamos o Teste da Razão ou da Raiz.

Aqui vamos usar o Teste da Razão. No Teste da Razão, temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Caso L > 1 → a série ∑ a n é divergente e se L = 1 → o teste é inconclusivo.

Aqui nessa questão vamos precisar aplicar dois testes. Vou relembrar aqui de antemão esses testes:

  • Teste da Série Alternada: Se a série alternada: ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 b n

    • Satisfaz as condições: (i) b n + 1 ≤ b n para todo n   e (ii) lim n → ∞ ⁡ b n = 0 , a série converge.

  • Teste da Comparação: Funciona assim: nós achamos uma série b n que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa série a n dada no enunciado. Se b n for divergente e a n ≥ b n para todo n , então ∑ a n também será divergente.

Show? Vem comigo!

Passo 2

Através do enunciado, vemos que:

a n = x n 2 n - 1

Para a n + 1 precisamos substituir n por n + 1 :

a n + 1 = x n + 1 2 ( n + 1 ) - 1

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada e já resolvendo a divisão de fração, multiplicando a primeira pelo inverso da segunda, temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 2 ( n + 1 ) - 1 ⋅ 2 n - 1 x n

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada usando b m + n = b m   ⋅ b n , obtemos:

lim n → ∞ ⁡ x n x 2 n + 2 - 1 ⋅ 2 n - 1 x n = lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 2 n + 1 ⋅ x

Colocando n em evidência, obtemos:

lim n → ∞ ⁡ 2 - 1 / n 2 + 1 / n x = | x |

Logo, para ser convergente módulo de x precisa respeita a condição do Teste da Razão:

L = | x | < 1

Portanto, o raio de convergência R = 1 .

Passo 3

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência. O intervalo de convergência é aquele com todos os valores de x que fazem a série convergir.

Como a série converge para | x | < 1 , se tirarmos o módulo, vamos ter os valores negativos, então a série converge para:

- 1 < x < 1

Vimos acima que o intervalo é ( - 1 ,   1 ) , porém devemos testar a convergência nas extremidades para definir onde é aberto e onde é fechado, ou seja, se 1 e -1 estão inclusos nesse intervalo de convergência. Vamos fazer isso no passo 4.

Passo 4

Para x = - 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 2 n - 1

Através do Teste da Série Alternada, vemos que esta série converge.

Solução:

b n = 1 2 n - 1

i b n + 1 ≤ b n

i i   lim n → ∞ ⁡ 1 2 n - 1 = 0

Para x = 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( 1 ) n 2 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1

Esta série diverge. Podemos ver através do Teste da Comparação com a série harmônica e divergente:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

Onde

1 2 n - 1 > 1 2 n

Portanto o intervalo de convergência é:

[ - 1,1 )

Resposta

R = 1

[ - 1,1 )

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