Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 23
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
23. ,
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Pronto para resolver essa atividade comigo?
A gente quer calcular a área da região entre essas curvas:
Primeiro de tudo, é interessante a gente visualizar essas curvas no mesmo gráfico. Ajuda a criar a estratégia de resolução.
Vamos utilizar do GeoGebra para traçar esse gráfico.
A região será:
No interior da curva azul () e no exterior da curva vermelha (, ou seja, não vamos pegar a região onde é a interseção das duas curvas (pois está dentro a vermelha). Estaremos preocupados em calcular a área da região rosa.
Como estamos em coordenadas polares, vamos trabalhar com a fórmula de área para coordenadas polares.
E por que da subtração? Pois aqui a gente vai calcular a área da circunferência em azul, e subtrair essa região da circunferência vermelha. Mas veja, que antes disso, deveremos trabalhar para encontrar os limites de integral.
Para isso, iremos igualar as equações e encontrar os valores de em que elas se encontram.
Passo 2
Precisamos igualar as duas funções para encontrarmos onde elas se interseccionam, o intervalo entre esses dois pontos será a região que integraremos, ou seja, esses pontos serão os limites. Igualando as funções:
Então nossa figura se encontra nesses dois pontos.
Substituindo cada função na equação da área:
Passo 3
Vamos agora resolver primeiro a integral indefinida para depois substituirmos os limites:
Utilizando a seguinte identidade trigonométrica:
Ficamos com:
Integrando cada termo:
Passo 4
Substituindo os limites: