Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 14
(a) Use a Equação 1 para determinar uma representação em série de potências para . Qual é o raio de convergência?
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para .
(c) Ao colocar no seu resultado da parte (a), expresse como a soma de uma série infinita.
Passo 1
Fala, galera. Tudo beleza?
A equação 1 que a questão nos diz é a primeira que aparece na seção 9 do livro. Essa daqui, ó:
Que é uma série geométrica. A partir dela vamos começar nossas mágicas!
Passo 2
a) A questão quer que a gente determine uma série de potência para a função e depois descobrir o raio de convergência.
Se integrarmos ambos os lados de , obtemos:
Se fizermos veremos que .
Então:
Desta forma podemos escrever na representação de série de potência da seguinte forma:
Calculando o raio de convergência (que é o inverso da fórmula do Teste da Razão):
Como tende a zero:
Passo 3
b) A questão quer que a gente encontre uma série de potências para a função utilizando o que temos no item (a).
Nós sabemos quanto vale a representação da série de potência quando . Sendo assim, se multiplicarmos por , basta passarmos ele para dentro do somatório, ficando com:
Passo 4
c) A questão quer que a gente use no resultado da parte (a), e depois expressar como a soma de uma série infinita.
Temos:
Resposta
a)
Raio de convergência:
b)
c)