(a) Use a Equação 1 para determinar uma representação em série de potências para f(x) = ln(1 - x) . Qual é o raio de convergência?

(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f(x) = x * ln(1 - x) .

(c) Ao colocar x = 1 / 2 no seu resultado da parte (a), expresse ln(2) como a soma de uma série infinita.

Passo 1

Fala, galera. Tudo beleza?

A equação 1 que a questão nos diz é a primeira que aparece na seção 9 do livro. Essa daqui, ó:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Que é uma série geométrica. A partir dela vamos começar nossas mágicas!

Passo 2

a) A questão quer que a gente determine uma série de potência para a função f x = ln ⁡ ( 1 - x ) e depois descobrir o raio de convergência.

Se integrarmos ambos os lados de 1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + … , obtemos:

∫ 1 1 - x d x = ∫ 1 + x + x 2 + …   d x

- ln ⁡ ( 1 - x ) = x + x 2 2 + x 3 3 + … + C

Se fizermos x = 0 veremos que C = 0 .

Então:

ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n

Desta forma podemos escrever f ( x ) na representação de série de potência da seguinte forma:

f x = ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n

Calculando o raio de convergência (que é o inverso da fórmula do Teste da Razão):

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n  

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n n    

Como 1 ∞ tende a zero:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n = 1

Passo 3

b) A questão quer que a gente encontre uma série de potências para a função f x = x ln ⁡ ( 1 - x ) utilizando o que temos no item (a).

Nós sabemos quanto vale a representação da série de potência quando f x = l n ⁡ ( 1 - x ) . Sendo assim, se multiplicarmos f x por x , basta passarmos ele para dentro do somatório, ficando com:

f x = x ⋅ ln ⁡ 1 - x

- x ∑ n = 1 ∞ x n n = - ∑ n = 1 ∞ x ∙ x n n = - ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n

Passo 4

c) A questão quer que a gente use x = 1 2 no resultado da parte (a), e depois expressar ln ⁡ 2 como a soma de uma série infinita.

Temos:

f 1 2 = ln ⁡ 1 2 = - ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n

f 1 2 = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 2 = - ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n

Resposta

a) f x = ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n

Raio de convergência: R = 1

b) f x = x ln ⁡ 1 - x = - x = - ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n

c)

ln ⁡ 2 = - ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados