Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 13
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto.
Passo 1
Oie, vamos resolver mais uma questão? Vem comigo!
A gente tem a função:
E a gente precisa explicar porque no ponto dado:
Ela é diferenciável para e para . Depois disso, devemos linearizar a função nesse ponto.
Para linearizar uma função em um ponto dado, devemos utilizar a relação:
Em que é o ponto dado.
Em relação as derivadas parciais da função, elas serão diferenciáveis em se elas existirem em e forem continuas em .
Passo 2
Você pode notar tanto:
Quanto:
Não possuem nenhuma restrição, podemos utilizar qualquer valor real pra e para nelas. Sendo assim, elas são diferenciáveis e são também continuas em todos os pontos.
Para encontrarmos as derivadas parciais e devemos, para o primeiro caso, derivar em relação a e considerar constante.
Para fazemos algo semelhantes, derivamos em relação a e consideramos constante.
Aqui, para encontrarmos iremos utilizar a regra do produto:
As funções diferenciáveis em e em dessa função são:
Lembrando que para essa função precisamos aplicar a regra do produto e para fazer a derivada de precisamos fazer a regra da cadeia.
Agora a derivada em relação a será:
Para essa função vamos fazer a regra da cadeia somente.
Dessa forma os valores de e de serão:
Passo 3
Agora aplicando esses resultados e pontos na linearização que tem a função igual a:
Para a gente,
Logo: