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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 11

Encontre d y / d x e d 2 y / d x 2 . Para quais valores de t   a curva é côncava para cima?

x = t 2 + 1 ,   y = t 2 + t

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Aqui nessa questão nós precisamos encontrar as derivadas da função até a segunda ordem. Com isso, vamos saber dizer para quais valores de t a curva tem concavidade para cima. Isso será feito pela análise do sinal da derivada segunda.

A curva é côncava para cima quando sua derivada segunda é positiva, ou seja,

d 2 y d x 2 > 0

Então basicamente, é derivar!

Vamos lá?

Passo 2

Para encontrarmos d y / d x , temos que lembrar que y = y ( t ) e x = x ( t ) .

Se usarmos a regra da cadeia, obtemos:

d y d x = d y d t d x d t

Então temos que derivar x e y separadamente e depois substituir na fórmula acima.

Agora derivamos x e y com relação a t :

d y d t = 2 t + 1  

d x d t = 2 t  

Substituindo esses resultados na primeira equação, obtemos:

d y d x = 2 t + 1 2 t

Rearrumando:

d y d x = 2 t 2 t + 1 2 t = 1 + 1 2 t

Passo 3

Para encontrar e d 2 y / d x 2 derivamos novamente, mas dessa vez vai ser uma derivação normal de y com relação a x pois já temos d y d x :

d y d x = 1 + 1 2 t

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = - 1 2 t 2 2 t = - 1 4 t 3

A curva é côncava para cima quando sua derivada segunda é positiva, ou seja,

d 2 y d x 2 > 0

E isso acontece quando:

- 1 4 t 3 > 0

Essa inequação só é satisfeita se t for negativo, logo:

t < 0

Resposta

d y d x = 1 + 1 2 t

d 2 y d x 2 = - 1 4 t 3

A curva é côncava para cima para valores de t < 0

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Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 + cos ⁡ θ , θ = π / 6
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = ln ⁡ θ , θ = e