Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 4
Encontre a área da região que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de integral em coordenadas polares aqui gente resolver, vamos lá! Se estamos buscando a área já sabemos que vamos precisar usar integrais em algum momento.
Normalmente, quando calculamos a integral de uma curva em coordenadas cartesianas, o resultado da integral fornece exatamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.
Para isso, usaremos a fórmula especifica para cálculo de área em coordenadas polares:
Já temos e já temos o intervalo, so precisamos substituir na fórmula e calcular!
Passo 2
Aplicando os limites de integração e substituindo , ficamos com:
Podemos usar a identidade trigonométrica: nesse caso, assim a gente fica com:
Resolvendo nossa nova integral, temos:
Aplicando os limites de integração, temos:
Lembrando que e .
Finalmente temos a área que buscamos!