Encontre a área da região que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.

r = tg ⁡ θ

π 6 ≤   θ ≤ π 3

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de integral em coordenadas polares aqui gente resolver, vamos lá! Se estamos buscando a área já sabemos que vamos precisar usar integrais em algum momento.

Normalmente, quando calculamos a integral de uma curva em coordenadas cartesianas, o resultado da integral fornece exatamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.

Para isso, usaremos a fórmula especifica para cálculo de área em coordenadas polares:

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Já temos r = tg ⁡ θ e já temos o intervalo, so precisamos substituir na fórmula e calcular!

Passo 2

Aplicando os limites de integração   π 6 ≤   θ ≤ π 3 e substituindo r = tg ⁡ θ , ficamos com:

A = ∫ π 6 π 3 1 2 tg 2 ⁡ θ   d θ

A = 1 2 ∫ π / 6 π / 3 tg ² ⁡ θ   d θ

Podemos usar a identidade trigonométrica: sec ²  θ = tg ⁡ ² θ + 1 nesse caso, assim a gente fica com:

A = 1 2 ∫ π 6 π 3 s e c 2 θ - 1   d θ

Resolvendo nossa nova integral, temos:

A =   1 2 ( tg ⁡ θ - θ ) π / 6 π / 3

Aplicando os limites de integração, temos:

A = 1 2 tg ⁡ π 3 - π 3 - tg ⁡ π 6   - π 6

Lembrando que π 3 = 60 ° e π 6 = 30 ° .

A = 1 2 3 - π 3 - 3 3 - π 6

Finalmente temos a área que buscamos!

A = 3 3 - π 12

Resposta

A = 3 3 - π 12

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