Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 44
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.
Limitado por e .
Passo 1
Oii, galerinha! Tudo bem?
A questão pede para usarmos um software para calcular o volume do sólido limitado pelas regiões:
e
O que vamos fazer aqui é montar a integral:
O que vamos precisar encontrar aqui é e os limites de integração da região .
Daí jogamos num software, como o WolframAlpha, essa integral e ela nos retornará o valor exato do volume .
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando a região . A região se encontra no plano . Para entendermos onde as regiões:
e
Interceptam esse plano, vamos igualá-las.
Fazendo , obtemos:
Vemos que parece uma circunferência, mas vamos adaptar para enxergar isso melhor. Completando quadrados:
Trata-se de uma circunferência de raio 1 e centro em (0,1).
Aqui vamos escrever a região como uma região do Tipo I, onde está entre duas constantes e está entre duas funções.
Dessa forma, isolando :
Aplicando a raiz nos dois lados da equação:
Isolando:
Olhando o gráfico, dá pra ver que está entre -1 e 1.
Em coordenadas cartesianas essa região é descrita como:
Passo 3
Assim, o volume é dado por:
Veja que colocamos como integral de dentro a integral , já que depende de em seus limites de integração.
Fazendo a integral exata usando uma calculadora gráfica, temos: