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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 10

Calcule a integral tripla:

∭ E e z y d V

Onde E = x , y , z 0 ≤ y ≤ 1 ,   y ≤ x ≤ 1,0 ≤ z ≤ x y

Passo 1

Vamos lá galerinha! Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ e z / y d V

Sob a região:

E = x , y , z 0 ≤ y ≤ 1 ,   y ≤ x ≤ 1,0 ≤ z ≤ x y

Precisamos transformar essa região em limites de integração, para podermos integrar cada uma das três integrais. Sendo que primeiro temos que integrar sempre a integral “mais interna” e então utilizar o resultado para a integral “do meio” e então fazer a “externa”.

Passo 2

Veja a região de integração:

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ 1

0 ≤ z ≤ x y

Ora, sabemos aqui que a integral em relação a y deve ser a última, pois é a única que possui valores fixos nos limites inferiores e superiores. Em relação as outras duas, a ordem de integração é optativa.

Veja que se eu escolher para integrar em relação a z primeiro, terei como simplificar x y y = x , e por motivos de facilitar os cálculos posteriores recomendarei escolher essa ordem.

Vamos colocar a mão na massa?

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 x y e z / y d z d x d y

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z temos:

A integral “mais interna” é:

∫ 0 x y e z / y d z =   y e z y z = 0 z = x y

Substituindo e aplicando os limites:

∫ 0 x y e z / y d z = y e x

Voltando para as integrais temos:

∫ 0 1 ∫ y 1 y e x d x d y = ∫ 0 1 ∫ y 1 y e x y y - y e 0 y d x d y  

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 ∫ y 1 ( y e x - y ) d x d y

Passo 3

Agora podemos calcular a integral em função de x :

∫ 0 1 ∫ y 1 y e x - y d x d y

As integrais são:

∫ y e x d x = y e x

E

∫ - y d x =   - x y Então temos:

y e x - x y x = y x = 1 d y

Substituindo e aplicando os limites:

y e 1 - 1 y - y e y - y 2

E, simplificando, obtemos:

∫ 0 1 ( e y - y - y e y + y 2 ) d y

Passo 4

E por fim, podemos resolver a integral em função de y :

∫ 0 1 e y - y - y e y + y 2 d y =   ∫ 0 1 e y d y - ∫ 0 1 y d y - ∫ 0 1 y e y d y + ∫ 0 1 y 2 d y

Veja que precisamos utilizar integral por partes para calcular:

∫ 0 1 y e y d y

Fazendo:

u = y ;

Temos:

d v = e y d y ;

d u = d y

v = ∫ e y d y = e y

Vamos calcular:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Substituindo os valores:

y e y - e y = y - 1 e y

Calculando as outras integrais:

1 2 e y 2 - 1 2 y 2 - y - 1 e y + 1 3 y 3 0 1 = 1 2 e 1 2 - 1 2 1 2 + 0 + 1 3 + 0 + 0 - 1 + 0

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ e z / y d V = 1 2 e - 7 6

Resposta

∭ e z / y d V = 1 2 e - 7 6

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Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 x + z 6 x zd yd xd z
Calcule a integral tripla.int int int_E 2 x d V , ondeE = {(x , y , z)| 0 = y = 2 , 0 = x = sqrt(4 - y^2) , 0 = z = y }
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E 6 x yd V , onde E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1 .
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E yd V , onde E é limitado pelos planos x = 0,y = 0,z = 0 e 2 x + 2 y + z = 4
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E x 2 e yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e pelos planos z = 0,x = 1 e x = - 1