Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x d y d x

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

Vamos entender o que nossa questão pede. Ela nos dá a integral dupla:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x d y d x

E quer que a gente esboce o volume que essa integral está descrevendo. Isso é um gráfico 3 D de um sólido e vamos precisar usar um software para gerar esse gráfico, como o Geogebra.

Primeiro, vamos usar os limites de integração da nossa integral para entender em qual região D no plano essa integral está sendo calculada, e plotar o gráfico dessa região.

Depois vamos olhar o integrando, que vai ser a função:

f x , y = 1 - x

que vai delimitar nosso volume, já que a integral dupla de uma função é o cálculo do sólido abaixo dela na região D .

Vamos lá!

Passo 2

A questão deu a integral e pede para você achar o sólido cujo volume é dado por essa integral. Vamos olhar primeiro para o domínio de integração. Enquanto x varia de 0 até 1 , y varia da reta y = 0 até y = 1 - x 2 . Assim, o domínio é representado por:

Passo 3

Agora vamos olhar para o integrando. Podemos encarar

f x , y = z = 1 - x

como a tampa superior do sólido, já que a integral dupla de uma função f x , y é justamente o volume abaixo do gráfico dessa função e acima do plano x y , que é onde se encontra a região D .

Logo, a tampa inferior será z = 0 . Assim o sólido pode ser descrito por:

D = x , y , z ∈ R 3 | 0 ≤ z ≤ 1 - x   , 0 ≤ y ≤ 1 - x ,   0 ≤ x ≤ 1  

Trata-se de um sólido delimitado no primeiro octante, abaixo do plano z = 1 - x e dentro do cilindro parabólico y = 1 - x 2 .:

Resposta

E s b o ç o

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