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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 9

Encontre a área da superfície.

A parte da superfície z = x y que fica dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Fala, galera! De boa?

Nesse exercício iremos analisar a parte da superfície

z = x y

que fica dentro do cilindro

x 2 + y 2 = 1

A área da superfície com a equação z = f x , y é:

A S = ∬ D f x x , y 2 + f y x , y 2 + 1 d A

Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de x e y da função:

  • z = x y
  • f x x , y : derivada da nossa função em relação a x , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
  • f y x , y : derivada da nossa função em relação a y , onde tratamos as outras variáveis como constantes.

    • Também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região D no plano x y . Com as condições fornecidas no enunciado, a região de interesse será delimitada por um círculo de raio menor ou igual a 1.

    x 2 + y 2 = 1

    Como essa região é circular, é mais fácil a gente expressar em coordenadas polares nossa integral.

    Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.

    Bora?

    Passo 2

    Temos então que encontrar as derivadas parciais f x e f y . Temos que:

    z = x y

  • f x :

    • f x , y = x y

    Derivando em relação a x , tratamos o termo de y como constante.

    f x = y

  • f y :

f x , y = x y    

Derivando em relação a y , tratamos o termo de x como constante.

f y = x

Com isso, temos:

z = f x , y = x y → f x = y ,     f y = x

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A S = ∬ D f x x , y 2 + f y x , y 2 + 1 d A = ∬ x 2 + y 2 + 1   d A

Ou seja:

A S = ∬ x 2 + y 2 + 1   d A

Passo 2

Vamos entender nossa região D de integração. Fazendo um esboço:

x 2 + y 2 = 1

Conforme visto no passo 1, a região fornecida no enunciado é delimitada por um círculo, sendo assim, podemos mudar o sistema de coordenadas cartesianas para polar, com:

x 2 + y 2 = r 2

d A = r   d r   d θ

Como o raio da circunferência é:

0 ≤ r ≤ 1

E o ângulo de uma circunferência toda varia como:

0 ≤ θ ≤ 2 π

fazendo isso, temos:

A S = ∬ x 2 + y 2 + 1   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 + 1   r d r d θ

Passo 3

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 + 1   r d r d θ

Resolvendo a integral acima obtida no passo anterior, primeiro em função de d r já que essa é a integral “de dentro”, temos:

∫ 0 2 π 1 3 r 2 + 1 3 2 r = 0 r = 1 d θ

Aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 2 π 1 3 r 2 + 1 3 2 r = 0 r = 1 d θ = 1 3   ∫ 0 2 π 2 2 - 1 d θ

Resolvendo a integra “de fora e aplicando os limites de integração:

1 3   ∫ 0 2 π 2 2 - 1 d θ = 2 π 3 ( 2 2 - 1 )

Sendo assim, temos:

A S = 2 π 3 ( 2 2 - 1 )

Resposta

A S = 2 π 3 ( 2 2 - 1 )

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