Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4x + 6y - 2z + 15 = 0 e acima do retângulo R = { x, y | -1 ≤ x ≤ 2 e -1 ≤ y ≤ 1 } .

Passo 1

Opa!! Tudo joia?

Vamos resolver mais essa!

Bom, a gente pode escrever esse plano como uma função de z :

2 z = 4 x + 6 y + 15

z = 2 x + 3 y + 15 2

Tranquilo?

E aí pra achar o volume pedido a gente pode fazer a integral dupla dessa função nos intervalos de R . Assim ó:

∫ - 1 2 ∫ - 1 1 2 x + 3 y + 15 2 d y d x

Coloca os intervalos de acordo com a ordem de integração, beleza?

Passo 2

Agora a gente vai resolver essa integral!

Pela ordem lá, a gente vai começar integrando em y , então o que for x a gente considera constante por enquanto:

∫ - 1 2 2 x y + 3 y 2 2 + 15 2 y - 1 1 d x

Aplicamos os limites do intervalo em y :

∫ - 1 2 2 x + 3 2 + 15 2 - - 2 x + 3 2 - 15 2   d x

∫ - 1 2 4 x + 15   d x

Show! Agora é só integrar em x essa belezinha aqui!

Passo 3

Integrando em x ...

∫ - 1 2 4 x + 15   d x

= 4 x 2 2 + 15 x - 1 2

= 2 x 2 + 15 x - 1 2

= 2 2 2 + 15 2 - [ 2 - 1 2 - 15 ]

= 8 + 30 - 2 + 15

= 51

E prontinho! Esse é o volume pedido😉

Resposta

51

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