Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 5
Encontre a área da superfície.
A parte do paraboloide que fica acima do plano
Passo 1
Fala, galera! Tranquilo?
Nossa questão pede a área de superfície da parte do parabolóide
que fica acima do plano
A área da superfície com a equação é:
Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
Também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região no plano . Sendo assim, temos que o paraboloide intercepta o plano quando:
Ou seja:
Que é uma circunferência de raio . Então, como nossa região de integração é circular, podemos escrevê-la em coordenadas polares.
Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.
Bora lá!
Passo 2
Temos então que encontrar as derivadas parciais e . Temos que:
Com isso, temos:
Derivando em relação a , tratamos todos os termos de como constante. Como a derivada da constante é zero, ficamos com:
Derivando em relação a , tratamos todos os termos de como constante. Como a derivada da constante é zero, ficamos com:
Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:
Passo 3
Precisamos determinar nossos limites de integração:
Já que a superfície sob a qual estamos integrando é uma circunferência, iremos mudar o sistema de coordenadas para o sistema polar.
Nossa região é uma circunferência completa de raio então nossos limites serão:
E como temos a circunferência completa, temos:
Fazendo:
Temos:
Passo 4
Resolvendo a integral obtida no passo anterior:
Ficamos com:
Aplicando nos limites de integração de cada integral:
E, simplificando, temos: