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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 6

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x d z d y

Passo 1

E ai, galera?

Vamos ver essa questão!

A gente precisa calcular uma integral tripla iterada:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x d z d y

Pra isso, a gente vai calcular de dentro pra fora, ou seja:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x d z d y

Primeiro vamos integrar em função de x , depois de z e por último de y .

Lembrando que quando fazemos uma integral múltipla, ao integrar em função de uma variável, consideramos as outras constantes!

Então vamos pras contas!

Passo 2

Começamos integrando em função de x , mantendo y e z constantes:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x d z d y =

Como o termo z y + 1 é constante, ele pode sair dessa integral:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 z y + 1 ∫ 0 1 - z 2 d x d z d y =

Agora integramos normalmente:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 z y + 1 ∙ x x = 0 x = 1 - z 2 d z d y =

Substituindo nos limites de integração:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 z y + 1 ∙ 1 - z 2 - 0 d z d y =

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 z y + 1 ∙ 1 - z 2 d z d y

Passo 3

Agora integrando em função de z , mantendo y constante:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 z y + 1 ∙ 1 - z 2 d z d y =

Como y + 1 é constante, vamos tirar dessa integral:

= ∫ 0 1 1 y + 1 ∫ 0 1 1 - z 2 ∙ z d z d y =

Vamos precisar usar uma substituição u = 1 - z 2 :

d u = - 2 z d z ⇒ z d z = - 1 2 d u

u 1 = 0

u 0 = 1

Então:

= ∫ 0 1 1 y + 1 ∫ 1 0 u - 1 2 d u d y =

Podemos tirar esse “ - ” e inverter os limites de integração, e reescrever u = u 1 / 2 :

= ∫ 0 1 1 y + 1 ∫ 0 1 u 1 2 ∙ 1 2 d u d y =

A primitiva de u 1 / 2 é:

u 3 2 3 2 = 2 3 u 3 / 2

Então:

= ∫ 0 1 1 y + 1 2 3 ∙ u 3 2 ∙ 1 2 u = 0 u = 1 d y =

= ∫ 0 1 1 y + 1 1 3 ∙ u 3 2 u = 0 u = 1 d y =

Resolvendo os limites de integração:

= ∫ 0 1 1 y + 1 1 3 ∙ 1 3 / 2 - 1 3 ∙ 0 3 / 2 d y =

= ∫ 0 1 1 y + 1 ∙ 1 3 d y

Passo 4

E por fim, podemos resolver a integral em função de y :

= ∫ 0 1 1 y + 1 ∙ 1 3 d y =

Podemos colocar 1 3 pra fora da integral, e fazer uma substituição u = y + 1 :

d u = d y

u ( 0 ) = 1

u 1 = 2

Então:

= 1 3 ∫ 1 2 1 u d u =

Resolvendo a integral:

= 1 3 ln ⁡ u u = 1 u = 2 =

= 1 3 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1

Como ln ⁡ 1 = 0 , encontramos o valor da integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x d z d y = 1 3 ln ⁡ 2

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z y + 1 d x d z d y = 1 3 ln ⁡ 2

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