Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 8
Encontre a área da superfície.
A superfície , , .
Passo 1
Oiii, galera! Tudo legal?
Nossa questão quer que a gente calcule a área da superfície
sob a região
A área da superfície com a equação é:
Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
Nesse nosso caso aqui, os limites de integração já foram dados no enunciado, o que já facilita para a gente!
Depois de acharmos as derivadas parciais, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.
Vamos juntos, passo a passo!
Passo 2
Começamos com o cálculo das nossas derivadas parciais:
Derivando em relação a , tratamos o termo de como constante.
Derivando em relação a , tratamos o termo de como constante.
Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:
Percebe que ainda faltam os limites de integração da nossa integral acima? O próprio exercício já nos disse que:
Então, nossa integral será:
Passo 3
Bom, agora é só finalizarmos nossa resolução resolvendo a integral:
Começando com a integral de dentro em relação a , trtando as demais variáveis como constantes:
Aplicando os limites de integração:
Agora é só integramos em função de :
Aplicando os limites de integração:
E, simplificando, temos: