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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 12

Encontre a área da superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Fala, gente boa! Tudo show?

Nessa questão, precisamos encontrar a área de superfície definida pela esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 4 z

Que tem parte dentro do paraboloide

z = x 2 + y 2

A figura a seguir esquematiza a região de interseção entre a esfera e o paraboloide.

Pra gente encontrar essa área, usaremos essa fórmula aqui:

A = ∬ D 1 + f x x ,   y 2 + f y x ,   y 2   d A

Iremos encontrar os limites de integração dessa região D , as derivadas f x e f y e jogar na fórmula. Show!

Passo 2

Descobrindo os limites de integração, vamos começar substituindo a equação do paraboloide na equação da esfera. Temos:

z ⏟ x 2 + y 2 + z 2 = 4 z

z 2 - 3 z = 0

z = 0 ,   z = 3

Logo, esses são os dois planos que interceptam a esfera (conforme podemos verificar na imagem acima), no entanto, podemos reescrever a equação da esfera como:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z = 0

Completando o quadrado em z adicionando 4 dos dois lados, temos:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 4 = 4

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4

Sendo assim, substituindo a equação para o plano z = 3 , temos:

x 2 + y 2 + 3 - 2 2 = 4

x 2 + y 2 ⏟ r 2 = 3

Dessa forma, podemos notar que o raio da região de interseção será um círculo ao redor da origem com raio variando de 0 a 3 .

Passo 3

Com isso, temos também que:

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4

z - 2 2 = 4 - x 2 - y 2

f x , y = z = 2 ± 4 - x 2 - y 2

Com isso, faremos as derivadas parciais, em relação a x e em relação a y :

f x = - x 4 - x 2 - y 2 - 1 / 2 ,     f y = - y 4 - x 2 - y 2 - 1 / 2

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A S = ∬ - x 4 - x 2 - y 2 - 1 2 2 + - y 4 - x 2 - y 2 - 1 2 2 + 1   d A

Conforme visto no passo 1, a região fornecida no enunciado é delimitada por um círculo, sendo assim, podemos mudar o sistema de coordenadas cartesianas para polar, com

x = r c o s   θ

  y = r s e n   θ

z = z

r 2 = x 2 + y 2

d V = r d r d θ

Fazendo isso, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 cos 2 ⁡ θ 4 - r 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ 4 - r 2 + 1   r d r d θ

Organizando...

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 4 - r 2 + 1   r d r d θ

Fazendo o M.M.C. dentro da raiz...

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 + 4 - r 2 4 - r 2   r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 4 - r 2   r d r d θ

Colocando para cima a raiz, ficaremos com expoente negativo:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 4 - r 2 - 1 / 2 d r d θ

Passo 4

Resolvendo a integral obtida no passo anterior, de dentro para fora, temos:

∫ 0 2 π - 2 4 - r 2 1 2 0 3 d θ

Substituindo os limites de integração:

  ∫ 0 2 π - 2 4 - 3 - 1 2 - 2 d θ

Simplificando a expressão, obtemos:

∫ 0 2 π 2 d θ

2 θ 0 2 π = 4 π

Show de bola! 😉

Resposta

A S = 4 π

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Encontre a área da superfície.A parte do plano 6 x + 4 y + 2 z = 1 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 25 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 2 y + 4 z - x 2 = 5 que cruza acima do triangulo com vértices 0,0 ,2,0 e2,4 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 5 x + 3 y - z + 6 = 0 que está acima do retângulo 1,4 × 2,6 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que cruza no primeiro octante.
Determine a área exata da superfície z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y 2 , 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 1 .