Represente graficamente o sólido que se encontra entre a superfície z = e^(-x^2) * cos(x^2 + y^2) e z = 2 - x^2 - y^2 para |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1 . Use um sistema algébrico computacional para aproximar o volume do sólido para quatro casas decimais.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Ela ta pedindo duas coisas pra gente:

  1. Representar o sólido que ele definiu na questão em um gráfico
  2. Aproximar o volume do sólido em quatro casas decimais usando um software

Então vamos fazer por partes!

Passo 2

Primeiro, plotamos as superfícies dadas no enunciado.

Vamos usar duas funções:

f x , y = e - x 2 cos ⁡ x 2 + y 2

g x , y = 2 - x 2 - y 2

Além disso, essas funções estão limitadas por:

x ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ x ≤ 1

y ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ y ≤ 1

A função f está em roxo e a g em vermelho.

Assim, o sólido delimitado por essas superfícies fica:

Passo 3

Como podemos observar, a função que chamamos g x , y é maior do que a f ( x , y ) em toda a região que estamos trabalhando.

Ou seja, para calcularmos o volume desse sólido, teremos que calcular a integral de g x , y - f ( x , y ) :

V = ∬ R g x , y - f x , y d A =

= ∬ R 2 - x 2 - y 2 - e - x 2 cos ⁡ x 2 + y 2 d A

A região R é definida pelas limitações em x e y :

R = { x , y | - 1 ≤ x ≤ 1   e - 1 ≤ y ≤ 1 }

Então,

V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 2 - x 2 - y 2 - e - x 2 cos ⁡ x 2 + y 2 d y d x

Agora calculamos usando ajuda de software – vou usar o WolframAlpha.

Entrada:

Resposta:

Ou seja,

V ≈ 3,0271

Resposta

V ≈ 3,0271

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