Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.

A parte da superfície z = ln(x^2 + y^2 + 2) que está acima do disco x^2 + y^2 ≤ 1 .

Passo 1

Pessoal, se uma superfície S tem uma equaçao da forma z = f ( x , y ) , onde ( x , y ) ∈ D e se f tem derivadas parciais contínuas, temos que:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Passo 2

Dado que z = ln ⁡ x 2 + y 2 + 2 , precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais.

∂ z ∂ x = 2 x x 2 + y 2 + 2

∂ z ∂ y = 2 y x 2 + y 2 + 2

Portanto,

A S = ∬ 1 + 2 x x 2 + y 2 + 2 2 + 2 y x 2 + y 2 + 2 2 d A

A S = ∬ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 + 2 2 d A

A região D é dentro da circunferência x 2 + y 2 = 1 .

Passo 3

Antes de resolver a integral, vamos passar para coordenadas polares, só pra facilitar um pouco a nossa vida.

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

onde, 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ 1 .

Assim,

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 4 r 2 r 2 + 2 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r 1 + 4 r 2 r 2 + 2 2 d r

A S = 2 π ∫ 0 1 r 1 + 4 r 2 r 2 + 2 2 d r

Como pedido pela questão, a integral calculada pela calculadora é igual a 3,56180

Resposta

A integral é igual a 3,56180 .

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