Encontre a área da superfície.

A parte do plano 6x + 4y + 2z = 1 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 25 .

Passo 1

Faala, pessoal!!

Nessa questão temos que achar a área de uma superfície!

Pra isso, a gente vai usar essa fórmula:

A S = ∬ D f x 2 + f y 2 + 1 d A

Que da a área de uma superfície S definida pelo gráfico de z = f x , y em um domínio D

Nossa missão vai ser encontrar quem é esse f , calcular as derivadas parciais e jogar na fórmula. Depois, a gente vai ter uma integral pra calcular! Vamos descobrir quem é D e calcular essa integral normalmente.

Passo 2

Como a gente quer uma função que o gráfico z = f x , y dê esse plano do enunciado, vamos isolar o z na equação do plano:

6 x + 4 y + 2 z = 1

2 z = 1 - 6 x - 4 y

⇒ z = 1 2 - 3 x - 2 y = f x , y

Agora vamos calcular as derivadas parciais. Lembrando que quando derivamos em função de uma variável, consideramos a outra constante:

f x = ∂ 1 2 - 3 x - 2 y ∂ x = - 3

Agora em função de y :

f y = ∂ 1 2 - 3 x - 2 y ∂ y = - 2

Substituindo na nossa fórmula:

A S = ∬ D f x 2 + f y 2 + 1 d A

= ∬ D - 3 2 + - 2 2 + 1 d A =

Então:

= ∬ D 9 + 4 + 1 d A =

= ∬ D 14 d A =

Como 14 é constante, sai da integral e fica assim:

A S = 14 ∬ D d A

Mas a gente pode calcular a área de uma região D no plano assim:

A D = ∬ D d A

Então a área da superfície fica:

A S = 14 ∙ A D

Basta calcularmos a área de D , que achamos a área da superfície!

Passo 3

Como a nossa parte do plano está dentro de um cilindro x 2 + y 2 = 25 , o domínio D vai ser a projeção dessa superfície no plano x y , vai ser um círculo de raio 5 :

Como queremos a área dessa região, calculamos:

A D = π r 2 =

= π ∙ 5 2 = 25 π

Então, a área da superfície será:

A S = 14 ∙ A D

A S = 25 π 14

Resposta

A = 25 π 14

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