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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 49

Encontre as áreas das regiões no plano de coordenadas polares descritas nos Exercícios 47-50.

Dentro da “figura oito” r = 1 + cos 2θ e fora do círculo r = 1.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre áreas em coordenadas polares.

Para determinarmos a área pedida, igualamos as duas equações:

r = 1 + cos ⁡ 2 θ = 1 = > cos ⁡ 2 θ = 0

Logo:

2 θ = π 2 + k π = > θ = π 4 + k π 2

Daí, podemos escrever:

A = 4 ∫ 0 π / 4 1 2 [ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 - 1 2 ] d θ

Passo 2

Reescrevendo e integrando obtemos:

A = 2 ∫ 0 π / 4 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ - 1 d θ =

= 2 ∫ 0 π / 4 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ d θ = 2 ∫ 0 π / 4 2 cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 d θ =

= 2 s e n   2 θ + 1 2 θ + s e n   4 θ 8 | 0 π / 4 = 2 s e n π 2 - s e n   0 + 1 2 π 4 - 0 + s e n   π - s e n   0 8 =

= 2 1 + π 8 + 0 = 2 + π 4

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

2 + π 4

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