Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

27.

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

A expressão acima só irá zerar quando , para isso acontecer, temos que:

Ou ainda:

Isso acontece pelo fato de seno ser uma função periódica.

Então achamos o valor de x onde ocorrem os estremos relativos, que são . Agora vamos achar o extremo relativo, jogando o x que encontramos na nossa função.

Agora temos que se n for ímpar:

Se n é par:

Agora vamos avaliar para quais intervalos é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x é positiva e para quais valores ela é negativa.

Vemos que para:

Basta avaliar a função em valor qualquer nesse intervalo.

Para:

Basta avaliar a função em valor qualquer nesse intervalo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Abaixo podemos ver o gráfico da função.