Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 24

Encontre a centroide da região delimitada pelo eixo x e o arco da cicloide

x = a t - s e n   t ,   y = a 1 - cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Fala minha galera querida!! Para quem não se lembra, para encontrar o centroide devemos achar os pontos ( x - , y - ) a partir das fórmulas x - = M x A e y - = M y A

Então bora, primeiro encontrar a área da figura, sendo quem varia é o eixo x.

d A = y ⋅ d x

d A = a 1 - cos ⁡ t ⋅ d d x a t - s e n   t

d A = a 2 1 - cos ⁡ t 2

A = ∫ 0 2 π a 2 1 - cos ⁡ t 2 d t

A = a 2 ∫ 0 2 π 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

A = a 2 3 2 t - 2   s e n   t + s e n   2 t 4 0 2 π

A = 3 π a 2

Passo 2

Temos A, agora podemos achar M x e M y .

Começando por M x , precisamos do ponto y i , que é a coordenada do ponto médio da figura.

y i = 1 2 a 1 - cos ⁡ t

M x = ∫ 0 2 π y i ⋅ d A

M x = ∫ 0 2 π 1 2 a 1 - cos ⁡ t ⋅ a 2 1 - cos ⁡ t 2 d t

M x = a 3 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 3 d t

M x = a 3 2 ∫ 0 2 π 1 - 3 cos ⁡ t + 3 cos 2 ⁡ t - cos 3 ⁡ t d t

M x = a 3 2 5 2 t - 3 s e n   t + 3 2 s e n   2 t - s e n   t + s e n 3   t 3 0 2 π

M x = 5 π a 3 2

Passo 3

M y precisamos da coordenada que varia, isto é, x i = x = a t - s e n   t

M y = ∫ 0 2 π x i ⋅ d A

M y = ∫ 0 2 π a 1 - sen ⁡ t ⋅ a 2 1 - cos ⁡ t 2 d t

M y = a 3 ∫ 0 2 π t - 2 t c o s   t + t cos 2 ⁡ t - s e n   t + 2 s e n   t cos ⁡ t - s e n   t cos 2 ⁡ t d t

M y = a 3 t 2 - 2 cos ⁡ t - 2 t s e n   t + 1 4 t 2 + 1 8 cos ⁡ 2 t + t 4 s e n   2 t + cos ⁡ t + s e n 2   t + cos 3 ⁡ t 3 0 2 π

M x = 3 π 2 a 3

Passo 4

Finalmente agora vamos encontrar a centroide da figura,

x - = M y A = 3 π 2 a 3 3 π a 2 = π a

y - = M x A = 5 π a 3 2 3 π a 2 = 5 6 a

A centroide está no ponto π a , 5 6 a .

Bora pro próximo.

Resposta

A centroide está no ponto π a , 5 6 a .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.10. x = 1 / t ,y=- 2 + l n t ,t= 1
Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.13. x = 1 t+1 ,y= t t-1 ,t =2
Encontre os coeficientes angulares das curvas nos Exercícios 17-20 nos pontos determinados. Esboce as curvas com suas tangentes nesses pontos.Cardioide r = - 1 + sen ⁡ θ ; θ = 0 ,π
Encontre os coeficientes angulares das curvas nos Exercícios 17-20 nos pontos determinados. Esboce as curvas com suas tangentes nesses pontos.Rosa de quatro pétalas r = cos ⁡ 2 θ ; θ = 0 ,± π / 2 ,π
Encontre os coeficientes angulares das curvas nos Exercícios 17-20 nos pontos determinados. Esboce as curvas com suas tangentes nesses pontos.Cardioide r = - 1 + cos ⁡ θ ; θ = ± π / 2