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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 18

Encontre o centroide da região.

A região delimitada pelos gráficos de x = 1 y , x = 0 , y = 1 e y = 2 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Vemos que o eixo x está limitado entre duas funções de y , e o eixo y está limitado entre duas constantes. Por isso, é mais tranquilo a gente descrever nossa região com funções de y , o que muda nossas fórmulinhas para:

y - = 1 á r e a   d e   R ∫ c d y ( f y - g y ) d y

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ c d 1 2 f y 2 - g y 2 d y

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

1 < y < 2

0 < x < 1 y

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R ∫ c d y ( f y - g y ) d y

No eixo x , nossa região está entre x = f y = 1 y (por cima) e x = g y = 0 (por baixo). E em y , entre 1 e 2 .

A gente pode calcular a área pela integral:

á r e a   d e   R = ∫ 1 2 1 y - 0 d x = I n ( 2 )

Nossa integral fica:

y - = 1 I n 2   ∫ 1 2 y 1 y - 0 d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

y - = 1 I n 2

Passo 4

Agora a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ c d 1 2 f y 2 - g y 2 d y

x - = 1 I n 2 ∫ 1 2 1 2 1 y 2 - 0 2 d y

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

x - = 1 4 I n 2

Resposta

x - , y - = 1 4 I n 2 , 1 I n 2

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