Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.8 - Ex. 5

As superfícies planas mostradas estão imersas verticalmente em água. Encontre a força do fluido sobre cada superfície.

Passo 1

Como temos uma placa submersa na vertical, podemos usar essa relação:

Onde é o peso específico da água. Precisamos usar o que está na nossa tabelinha e está nas mesmas unidades do enunciado:

E é a largura da placa e a profundidade de cada ponto . (sendo e os limites da placa nessa profundidade).

E sendo o eixo , um eixo vertical para baixo, com a origem () na superfície do líquido.

Vamos começar!

Passo 2

Para achar , vamos ter que usar nossa esperteza. Olha essa figura:

Esse desenho mostra que a metade da largura da placa, o raio do semicírculo e o valor de fazem um triângulo retângulo. A gente pode usar nosso amigo, o Teorema de Pitágoras:

Porque o raio vale . Isolando :

Passo 3

Já a profundidade, vemos que é medida diretamente pelo valor de . Então, podemos escrever:

E a placa começa em e termina em .

Com tudo isso, nossa integral fica assim:

Passo 4

Agora é só calcular a integral. Usando a substituição:

Nossos extremos de integração ficam assim:

E a integral fica desse jeitinho:

Resposta

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Suponha que ∫ 0 1 f x d x = 1 2 ,∫ 1 2 f x d x = 1 4, ∫ 0 3 f x d x = - 1 ,∫ 0 1 g x d x = 2 Em cada parte, use essa informação para calcular a integral dada, se possível. Se não houver informações su

Em cada parte, calcule a integral. Quando apropriado, use uma fórmula geométrica. ∫ - 1 1 ( 1 + 1 - x 2 ) d x ∫ 0 3 ( x x 2 + 1 - 9 - x 2 ) d x ∫ 0 1 x 1 - x 4 d x

Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.

Conforme indica a figura ao lado, as massas m 1 = 5 , m 2 = 10 e m 3 = 20 estão posicionadas numa certa viga sem peso.Suponha que o fulcro esteja posicionado em x = 5 . Sem calcular a soma dos momento

Encontre o centroide da região.