Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

r(t) = t^2 + 1 + t^3 * i + t * j , t >= 0

Passo 1

Fala ai galerinha. Vamos para mais uma questão! 😉

O nosso objetivo é calcular as componentes tangencial e normal do vetor aceleração. Sendo que temos o vetor posição

r → t = t 2 + 1 i → + t 3   j →

Como resolver isso?

Para as componentes tangenciais precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada da posição e jogarmos na equação da tangente.

E para a componente normal da aceleração teremos que calcular o produto vetorial entre a primeira e a segunda derivada.

É isso. Vamos começar! 😊

Passo 2

Primeiramente vamos calcular a primeira e segunda derivada de:

r → ' = 2 t   i → + 3 t 2   j →  

E como estamos falando de um vetor, vamos derivar componente a componente. Aqui, usando a regra do potência.

r → t = t 2 + 1 i → + t 3   j →

A norma desse vetor é:

r → ' = 4 t 2 + 9 t 4

E a segunda derivada de r é:

r → ' ' = 2   i → + 6 t   j →

Passo 3

Podemos agora encontrar o vetor aceleração tangencial da seguinte forma:

a T = r → ' ⋅ r → ' ' | r → ' |

Para calcular o produto escalar, fazemos a omo dos produtos das componentes:

2 t , 3 t 2 ⋅ 2,6 t = 2 ∙ 2 t + 3 t 3 ∙ 6 t

= 4 t + 18 t ³

Dessa forma temos que a aceleração tangencial é:

a T = 4 t + 18 t 3 4 t 2 + 9 t 4

Passo 4

Para encontrarmos a aceleração normal, temos que tomar o módulo do produto vetorial entre r → ' e r → ' ' . E para isso, temos que montar aquela matriz com as componentes dos vetores na segunda e na terceira linha:

2 t , 3 t 2 × 2,6 t = i j k 2 t 3 t 2 0 2 6 t 0

Efetuando esse produto vetorial temos:

r → ' × r → ' ' = 0 i → + 0   j → + ( 12 t 2 - 6 t 2 )   k →

A norma desse vetor é dado por

r → ' × r → ' ' = 36 t 4

Dessa maneira, a aceleração normal é dada por:

a N = r → ' × r → ' ' | r → ' | = 36 t 4 4 t 2 + 9 t 4

Resposta

a T = 4 t + 18 t 3 4 t 2 + 9 t 4

a N = 36 t 4 4 t 2 + 9 t 4

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