Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 41
Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação:
Queremos encontrar as componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado.
Para isso precisamos saber que a componente tangencial é dada por:
E a componente normal é dada por:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Queremos encontrar os vetores tangencial e normal. Para isso, primeiramente vamos calcular a primeira e segunda derivada de .
A norma desse vetor é
E a segunda derivada de é
Passo 3
Podemos agora encontrar o vetor aceleração tangencial da seguinte forma:
O produto escalar entre os dois vetores nos dá:
Dessa forma temos que a aceleração tangencial é:
Passo 4
Para encontrarmos a aceleração normal, temos que tomar o módulo do produto vetorial entre e .
Temos:
Efetuando esse produto vetorial temos:
A norma desse vetor é dado por
Dessa maneira, a aceleração normal é dada por:
Passo 5
Os vetores aceleração tangencial e normal estão em função do tempo.
Podemos encontrar o tempo referente ao ponto dado , igualando o vetor a .
Facilmente vemos que para , .
Dessa forma, os vetores aceleração tangencial é:
E a normal:
Resposta
As componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado são