Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-4, r(t) é a posição de uma partícula no plano xy no instante t. Encontre uma equação em x e y cujo gráfico seja a trajetória da partícula. Em seguida, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula no valor determinado de t.

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, esse primeiro bloco de questões nós vamos utilizar o conceito de parametrização, isso porque temos o vetor posição e suas coordenadas em função de t. O que faremos inicialmente será determinar o paramêtro em função da coordenada que ele está e depois construir uma função de x e y. Ficando assim:

Isso são as funções agora precisamos pelo método da substituição eliminar o parâmetro t ficando:

Passo 2

Então pessoal agora precisamos do vetor velocidade da part��cula, como já temos o vetor posição dado em função do tempo, o que podemos fazer é calcular a derivada da posição em função do tempo, isso vai resultar no vetor velocidade ficando:

Como é uma derivida vetorial, podemos derivar cada componente individualmente, isso vai resultar no vetor velocidade assim:

Passo 3

Galerinha agora o próximo passo é calcular o vetor aceleração que pode ser observado de duas formas, podemos calcular a derivada segunda do vetor posição, ou simplesmente derivar a velocidade em relação ao tempo. Faremos a segunda opção ficando:

Como é um vetor, a derivada é de cada uma das compontes:

Resposta

Como queremos os valores de velocidade e aceleração para um determinado instante de tempo: Nesse caso

Velocidade:

Aceleração:

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.e) f → t = 2 t - 1 i → + 4 t - 2 j → - 5 k → , t ≠ 1et ≠ 2 0 ,t = 1et = 2 em t = 1 e t = 2 .

Sejam f → t = t i → + 2 t 2 j → + 3 t 3 k → e g → t = 2 t i → + j → - 3 t 2 k → ,t ≥ 0 . Calcular:(b) lim t → 1 ⁡ [ f → t - g → t ]

Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.a) t - 3 t - 3 i → + t 2 j → ,t ≠ 3 0 ,t = 3 em t = 0 e t = 3 .

Sejam f → t = a → t + b → t 2 e g → t = t i → + s e n ⁡ t j → + cos ⁡ t k → , com a → = i → + j → e b → = 2 i → - j → ; 0 ≤ t ≤ 2 π . Calcular:(d) a → ⋅ f → t + b → ⋅ g → ( t )

Sejam f → t = t i → + 2 t 2 j → + 3 t 3 k → e g → t = 2 t i → + j → - 3 t 2 k → ,t ≥ 0 . Calcular:(d) lim t → 1 ⁡ [ f → t ⋅ g → t ]