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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 16

Encontre os vetores velocidade e posição de uma partícula que possui aceleração, velocidade e posição inicial dadas por:

a → t = s e n t   i → + 2 c o s t   j → + 6 t   k →

v → 0 = -   k →

r → 0 =   j → -   4 k →

Passo 1

E aí, galera. Beleza?

Então, nessa questão nós temos a aceleração de uma partícula e queremos descobrir sua velocidade e sua posição. Para isso, vamos lembrar que

a → t = d v → t d t

e integrar os dois lados da equação para obter a velocidade.

Uma vez obtida a velocidade, vamos lembrar que

v → t = d r → t d t

e, novamente, integrar os dois lados da equação para obter a posição.

E esses valores da velocidade e aceleração em zero?

Boa pergunta! Essas são as condições iniciais. E vamos usá-las pra calcular as constantes de integração.

Tranquilo, né? Então vem comigo.

Passo 2

Sabendo que a aceleração é a taxa com que a velocidade varia no tempo, podemos fazer:

v → t = ∫ a → ( t ) d t

Integrando componente a componente temos:

v → t = - c o s t   i → + 2 s e n t   j → + 3 t 2   k → + C

Para determinarmos a constante, podemos fazer uso da velocidade inicial dada. Fazendo t=0 na expressão da velocidade temos:

v → 0 = - i → + C = -   k →

Logo,

C = i → - k →

Dessa maneira, podemos concluir que a expressão da velocidade no tempo é”

v → t = - c o s t   i → + 2 s e n t   j → + 3 t 2   k → + i → - k →

Agrupando os termos semelhantes, temos

v → t = - c o s t + 1 i → + 2 s e n t   j → + ( 3 t 2 - 1 )   k →

Passo 3

Sabendo que a velocidade é a taxa com que a posição varia no tempo, podemos fazer:

r → t = ∫ v → ( t ) d t

Integrando componente a componente temos:

r → t = - s e n t + t i → - 2 c o s t   j → + ( t 3 - t )   k → + C

Para determinarmos a constante, podemos fazer uso da posição inicial dada. Fazendo t = 0   na expressão da posição temos:

r → 0 = - 2   j → + C

Mas sabemos que r → 0 =   j → -   4 k → , logo:

C = 3 j → - 4   k →

Dessa maneira, podemos concluir que a expressão da posição no tempo é:

r → t = - s e n t + t i → - 2 c o s t   j → + ( t 3 - t )   k → + 3 j → - 4   k →

Agrupando os termos semelhantes, temos

r → t = - s e n t + t i → + - 2 c o s t + 3 j → + t 3 - t - 4 k →

Resposta

Os vetores velocidade e posição da partícula são:

v → t = - c o s t + 1 i → + 2 s e n t   j → + ( 3 t 2 - 1 )   k →

r → t = - s e n t + t i → - 2 c o s t   j → + ( t 3 - t )   k → + 3 j → - 4   k →

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