Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 28
Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por em .
28.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início da tarefa, vamos relembrar como é definida a série de Taylor em
Onde a função f tem derivadas de todas as ordens em torno de . No início do problema, vamos verificar se a função é contínua em todos os pontos em torno de . A função é contínua para todo número real , exceto para . Portanto, a função tem todas as derivadas contínuas em torno de .
Vemos pela fórmula (1) que para encontrar a série de Maclaurin; basta determinar a k-ésima derivada da função . Para determinar mais facilmente a k-ésima derivada da função , escreveremos a função de modo que seja precedido por , não (para facilitar a diferenciação):
Se diferenciarmos a expressão (2) em relação à variável , obteremos :
Usando a primeira derivada obtida da função f, determinamos a segunda derivada:
Passo 2
Concluímos que a notação da k-ésima derivada da função é igual a:
Incluindo o termo na k-ésima derivada da função , nós obtemos que
Desenvolvendo os termos, nós obtemos que
Agora, nós já podemos obter a série de Maclaurin