Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 51
Encontre uma função cujo gráfico corte o eixo no ponto , o eixo em e que tenha uma reta tangente de inclinação no ponto de corte com o eixo .
Passo 1
Okay, vamos por passos: 1º - a função deve ser do tipo , cortando o eixo no ponto .
Para cortar o eixo , o valor de deve ser zero, ok? Então, ele quer que quando , , ou seja, que a função tenha o ponto .
Beleza: 2º - deve cortar o eixo no ponto , ou seja, seguindo o mesmo raciocínio de antes (agora para o eixo ), deve conter o ponto .
Por último: 3º - a reta tangente no ponto de corte do eixo , ou seja, no ponto , deve ter a inclinação . Lembrando que a inclinação da reta tangente é justamente a derivada da função!! Logo, a derivada da função no ponto deve ser .
Passo 2
Resolvendo a primeira característica:
Deve conter o ponto :
Show, temos nossa primeira condição!
Passo 3
Resolvendo a segunda característica:
Deve conter o ponto :
Opa, já achamos o valor de um dos parâmetros! Nossa equação tá assim, por enquanto:
Passo 4
Resolvendo a terceira característica: A reta tangente no ponto deve ter inclinação e vimos que isso quer dizer que a derivada da função nesse mesmo ponto deve ser .
Calculando a derivada da função:
E substituindo o ponto , onde a derivada deve ser :
Opa, achamos mais um valor. Nossa equação está assim agora:
Falta só o agora!
Passo 5
Para encontrar o valor de , vamos voltar lá na nossa primeira condição, onde achamos que:
Como e :
Agora sim, encontramos tudo! Ufa! E nossa função será: