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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 26

Encontre (d y)/(d x) :

y = l n ( cos (e^x) )

Passo 1

Considerando a função : y = l n ( cos (e^x) )

Precisamos achar (d y)/(d x) .

Se consideraros :

f = l n ( u )

u = c o s ( e^x )

Vamos derivar os termos separadamente:

(d y)/(d u) = (d)/(d u) ( ln (u) ) = (1)/(u)

Agora derivando u em relação a x :

(d u)/(d x) = (d ( c o s ( e^x ) ))/(d x) = (e^x)^' . (cos (e^x))^' = - e^x . s e n ( e^x )

Para isso usaremos a regra da cadeia que diz que :

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = (1)/(u) . [ - e^x . s e n ( e^x ) ]

Substituindo o valor de u :

(d y)/(d x) = ([ - e^x . s e n ( e^x ) ])/(c o s ( e^x )) = - t g (e^x) . e^x

Resposta

(d y)/(d x) = - e^x t g (e^x)

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