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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 44

Encontre (d y)/(d x) :

y = a r c cos ((x + 1)/(2))

Passo 1

Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, vamos considerar que u é uma função diferenciável de x , permitindo que a Regra da Cadeia produza uma versão generalizada para resolver essa diferencial:

(d)/(d x) [cos^(- 1) ( u )] = (- 1)/(sqrt(1 - u^2)) . (d u)/(d x)

Considerando nossa função :

y = a r c c o s ( 3 x )

Que pode ser escrita assim:

y = cos^(- 1) ( 3 x )

Considerando que:

u = (x + 1)/(2)

(d u)/(d x) = (d)/(d x) [(x + 1)/(2)] = (1)/(2)

Aplicando na fórmula, temos que:

(d)/(d x) = (- 1)/(sqrt(1 - ((x + 1)/(2))^2)) . (1)/(2)

Simplificando:

(d)/(d x) = (- 2)/(sqrt(4 - (x + 1)^2)) . (1)/(2)

(d)/(d x) = (- 1)/(sqrt(4 - (x + 1)^2))

Resposta

(d)/(d x) = (- 1)/(sqrt(4 - (x + 1)^2))

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