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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 18

Encontre f^' (x) .

f (x) = ((x^2 + 1) c o t g x)/(3 - cos x c o s s e c x)

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente tem que derivar essa função aí.

Nessa tem um mooonte de coisinha: produto, quociente, soma...

Vai fica grandinha, mas é só ir com calma que sai.

Bora lá?!

Passo 2

Vamos aplicar a regra do quociente:

f^' (x) = ([( (x^2 + 1) c o t g x)^' (3 - cos x c o s s e c x) - (x^2 + 1) c o t g x ( 3 - cos x c o s s e c ) ' ])/((3 - cos x c o s s e c x)^2)

Repare que cos x c o s s e c x = cos x ((1)/(s e n x)) = c o t g x .

Agora vamos começar a resolver essas derivadas:

= ([(2 x c o t g x - c o s s e c^2 x (x^2 + 1)) (3 - c o t g x) - (x^2 + 1) c o t g x (c o s s e c^2 x)])/((3 - c o t g x)^2)

Passo 3

Vamos tentar simplificar alguma coisa agora pra ficar mais bonitinho...

(( 6 x c o t g x - 2 x c o t g^2 x - 3 c o s s e c^2 x (x^2 + 1) + c o t g x c o s s e^2 x (x^2 + 1) - (x^2 + 1) c o t g x (c o s s e c^2 x))/((3 - c o t g x)^2)

= ([6 x c o t g x - 2 x c o t g^2 x - 3 c o s s e c^2 x (x^2 + 1)])/((3 - c o t g x)^2)

Bom, acho melhor parar por aqui hahaha...

Essa é a derivada f ' ( x ) da função😉

Resposta

f^' (x) = ([6 x c o t g x - 2 x c o t g^2 x - 3 c o s s e c^2 x (x^2 + 1)])/((3 - c o t g x)^2)

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