Encontre f'(x)

f(x) = cos^3(x/(x+1))

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

f g x ' = f ' g x * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f x = cos 3 ⁡ x

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g x = x x + 1

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f x = cos 3 ⁡ x

Ai aqui caímos em outra regra da cadeia, vamos ficar com

u v x ' = u ' v x * v ' ( x )

u x = x 3

u ' x = 3 x 2

u ' v x = 3 cos 2 ⁡ ( x )

v x = c o s x

v ' x = - sen ⁡ x

Então nossa f ' x fica:

f ' x = u ' v x * v ' ( x )

f ' x = - 3 s e n x cos 2 ⁡ x

f ' g x = - 3 s e n x x + 1 cos 2 ⁡ x x + 1

Agora para g ( x )

g x = x x + 1

Para fazer essa derivada vamos ter que usar a regra do quociente!

x x + 1 ' = x ' x + 1 - x x + 1 ' x + 1 2

x x + 1 ' = x + 1 - x x + 1 2

x x + 1 ' = 1 x + 1 2

g ' x = 1 x + 1 2

Passo 3

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

f g x ' = - 3 s e n x x + 1 cos 2 ⁡ x x + 1 * 1 x + 1 2

f g x ' = - 3 s e n x x + 1 cos 2 ⁡ x x + 1 x + 1 2

Resposta

f g x ' = - 3 s e n x x + 1 cos 2 ⁡ x x + 1 x + 1 2

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