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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 22

Encontre f ' ( x )

f (x) = cos^3 ((x)/(x + 1))

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = cos^3 (x)

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = (x)/(x + 1)

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = cos^3 (x)

Ai aqui caímos em outra regra da cadeia, vamos ficar com

(u (v (x)))^' = u^' (v (x)) * v ' ( x )

u (x) = x^3

u^' (x) = 3 x^2

u^' (v (x)) = 3 cos^2 ( x )

v (x) = c o s (x)

v^' (x) = - sen (x)

Então nossa f^' (x) fica:

f^' (x) = u^' (v (x)) * v ' ( x )

f^' (x) = - 3 s e n (x) cos^2 (x)

f^' (g (x)) = - 3 s e n ((x)/(x + 1)) cos^2 ((x)/(x + 1))

Agora para g ( x )

g (x) = (x)/(x + 1)

Para fazer essa derivada vamos ter que usar a regra do quociente!

((x)/(x + 1))^' = (x^' (x + 1) - x (x + 1)^')/((x + 1)^2)

((x)/(x + 1))^' = ((x + 1) - x)/((x + 1)^2)

((x)/(x + 1))^' = (1)/((x + 1)^2)

g^' (x) = (1)/((x + 1)^2)

Passo 3

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = - 3 s e n ((x)/(x + 1)) cos^2 ((x)/(x + 1)) * (1)/((x + 1)^2)

(f (g (x)))^' = - (3 s e n ((x)/(x + 1)) cos^2 ((x)/(x + 1)))/((x + 1)^2)

Resposta

(f (g (x)))^' = - (3 s e n ((x)/(x + 1)) cos^2 ((x)/(x + 1)))/((x + 1)^2)

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