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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 34

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = ln ⁡ x 2 ln ⁡ x ,   ( 1,0 )

Passo 1

Nessa questão temos a seguinte curva

y = ln ⁡ x 2 ln ⁡ x

E devemos encontrar a equação da reta tangente no ponto 1,0 .

A equação da reta tangente é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Onde y 0 e x 0 são as coordenadas do ponto dado e m é a inclinação da reta tangente, que iremos encontrar derivando a função e substituindo as coordenadas do ponto dado na derivada.

Essa função é composta por uma multiplicação, logo usaremos a regra do produto que é:

u v ' = u ' v + u v '

Onde u = l n x 2 e v = l n x

E também temos uma regra da cadeia por conta do x 2 dentro do l n no primeiro fator.

A regra da cadeia diz que:

f g x ' = f ' g x g ' x

Onde f x = l n x   e g x = x 2

Ou seja, basta derivar de fora para dentro.

Passo 2

A derivada da função y = ln ⁡ x 2 ln ⁡ x é dada por:

y ' = ( ln ⁡ x 2 ) ' l n x + l n x 2 l n x '

y ' = 1 x 2 2 x l n x + l n x 2 1 x

y ' = 2 x l n x + l n x 2 x

Podemos colocar em evidência que:

y ' = l n x x   2 + l n x

Passo 3

No ponto dado que é 1,0 , temos x = 1 , logo:

y ' 1 = l n 1 1 2 + l n 1

Aqui devemos lembrar que o log de 1 vale 0 , portanto:

y ' 1 = 0 2 + 0

y ' 1 = 0

Encontramos uma derivada nula, isso indica que a reta tangente nesse ponto será uma reta horizontal.

Então a equação da reta tangente em   ( 1,0 ) é:

y - y 0 = m x - x 0

y - 0 = 0 x - 1

Isso implica que:

y = 0

Resposta

y = 0

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