Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 38
Seja . Para qual valor de ocorre ?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de da função
sabendo que a derivada da função em é igual a .
Ou seja, temos que usar essa informação da derivada para determinar qual o valor da constante .
A ideia aqui é calcular a derivada da função , depois aplicar a condição de que em ela é igual a , depois isolar o para determinar seu valor.
Já temos um plano. Então...
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da função
E estamos olhando pra ela como sendo uma função composta. Pois temos a função dentro da função .
Assim:
E a regra da cadeia é
a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.
A derivada da de fora é a derivada de , então sua derivada será dada por:
Como
Show, e a derivada da função e dentro é
Aplicando a regra da cadeia, teremos:
Arrumando um pouco melhor, ficamos com:
E a derivada da nossa função é:
Passo 3
Mas nós queremos saber o valor de quando , então vamos aplicar esse ponto na derivada, fazendo :
Desenvolvendo, ficamos com:
Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
E dividindo ambos os lados por :
Agora, como a exponencial é a função inversa do logaritimo, para isolar , vamos aplicar a exponencial dos dois lados. Assim, temos:
E descobrirmos o valor de .
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉