Use o método do Exercício 55 para computar Q ' (0) , onde:

Q(x) = (1 + x + x² + x * e^x) / (1 - x + x² - x * e^x)

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão da pra gente a função

Q ( x ) = 1 + x + x ² + x e x 1 - x + x 2 - x e x

E pede pra gente encontrar Q ' 0 . Ou seja, queremos encontrar a derivada dessa função no ponto x = 0 .

Além disso, a própria questão da uma super dica pra gente. Ela diz o seguinte:

“em vez de encontrar Q ' ( x ) primeiro, deixe f x ser o numerador e g ( x ) , o denominador de Q ( x ) , e compute de Q ' ( 0 ) de f ( 0 ) , f ' 0 , g ( 0 ) e g ' ( 0 )

Ou seja, ela está dizendo pra gente olhar para nossa função como sendo uma divisão entre duas outras funções.

Sendo assim, poderemos usar a regra do quociente.

d d x f x g x = g x d d x f x - f x d d x g x g x 2

Então é exatamente isso que faremos.

Vem que te mostro tudo no passo a passo.

Passo 2

Precisamos derivar esta função. Antes de tudo devemos notar que há uma divisão entre os termos. Então o que usamos?

A Regra do Quociente, certo? Vamos lembrar:

d d x f x g x = g x d d x f x - f x d d x g x g x 2

Se chamarmos:

f x = 1 + x + x 2 + x e x

f 0 = 1

g x = 1 - x + x 2 - x e x

g 0 = 1

As derivadas podem ser feitas usando a regra do expoente em cada termo. Lembrando que

d x n d x = n x n - 1  

E para x e x usaremos a regra do produto. Fazendo:

x e x ' = x ' e x + x e x '

Assim:

d d x f x = 1 + 2 x + e x + x e x

d d x f 0 = 2  

d d x g x = - 1 + 2 x - e x - x e x

  d d x g 0 = - 2

Agora que já temos tudo, basta substituir, na regra do quociente.

Passo 3

Lembrando que

d d x f o g o = g o d d x f 0 - f 0 d d x g 0 g 0 2

Substituindo:

d d x Q 0 = 1 ⋅ 2 - 1 ⋅ ( - 2 ) 1 2 = 4

E prontinho!

Resposta

Q ' ( 0 ) = 4

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