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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 52

Encontre a derivada dada, encontrando as primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.

50) d 35 d x 35 ( x . s e n   x )

Passo 1

Olá, amigo. Yuri aqui e irei estar lhe ajudando a resolver essa atividade de derivadas.

O enunciado nos pede para derivarmos algumas vezes a função dada até conseguirmos encontrar um padrão, possivelmente uma lei de recorrência e com ela encontrarmos a 35 a derivada da função.

Então é isso o que faremos, iremos derivar algumas vezes e a partir daí iremos encontrar o padrão e finalmente responderemos a atividade.

Passo 2

Por termos um produto entre duas funções deveremos utilizar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz:

f x ∙ g x = f ' x ∙ g x + f x ∙ g ' x

Sendo:

f x = x

g x = sin ⁡ x

E

f ' x = 1

g ' x = cos ⁡ x

A primeira derivada é então:

d d x x ∙ sin ⁡ x = 1 sin ⁡ x + x cos ⁡ x

A segunda derivada segue a mesma linha, pois novamente temos que utilizar a regra do produto:

d 2 d x 2 x ∙ sin ⁡ x = cos ⁡ x + cos ⁡ x - x sin ⁡ x = 2 cos ⁡ x - x sin ⁡ x

Passo 3

Ainda não temos um padrão, então vamos continuar a derivação:

d 3 d x 3 = - 2 sin ⁡ x - sin ⁡ x - x cos ⁡ x = - 3 sin ⁡ x - x cos ⁡ x

d 4 d x 4 x ∙ sin ⁡ x = - 3 cos ⁡ x - cos ⁡ x + x sin ⁡ x = - 4 cos ⁡ x + x sin ⁡ x

d 5 d x 5 x ∙ sin ⁡ x = 4 sin ⁡ x + sin ⁡ x + x cos ⁡ x = 5 sin ⁡ x + x cos ⁡ x

d 6 d x 6 x ∙ sin ⁡ x = 5 cos ⁡ x + cos ⁡ x - x sin ⁡ x = 6 cos ⁡ x - x sin ⁡ x

d 7 d x 7 x ∙ sin ⁡ x = - 6 sin ⁡ x - sin ⁡ x - x cos ⁡ x = - 7 sin ⁡ x - x cos ⁡ x

Passo 4

A partir do que foi feito, conseguimos notar um certo padrão nas derivadas. Veja que:

d 4 k d x 4 k x ∙ sin ⁡ x = - 4 k cos ⁡ x + x sin ⁡ x

d 4 k + 1 d x 4 k + 1 x ∙ sin ⁡ x = 4 k + 1 sin ⁡ x + x cos ⁡ x

d 4 k + 2 d x 4 k + 2 x ∙ sin ⁡ x = 4 k + 2 cos ⁡ x - x sin ⁡ x

d 4 k + 3 d x 4 k + 3 x ∙ sin ⁡ x = - 4 k + 3 sin ⁡ x - x cos ⁡ x

Passo 5

Isso significa que a depender de qual derivada você quer encontrar, temos uma fórmula de recorrência diferente. Lembre-se de que k   precisa ser um número inteiro, então devemos analisar qual fórmula usar em cada caso.

Para o nosso caso, onde queremos a derivada 35, usaremos a fórmula:

d 4 k + 3 d x 4 k + 3 x ∙ sin ⁡ x = - 4 k + 3 sin ⁡ x - x cos ⁡ x

Pois é justamente a única onde k é inteiro.

35 = 4 k + 3  

32 = 4 k  

8 = k  

Agora é substituir na fórmula que encontramos e pegar o nosso resultado:

d 35 d x 35 x . s e n   x = - 35 s e n   x - x cos ⁡ x

Resposta

d 35 d x 35 x . s e n   x = - 35 s e n   x - x cos ⁡ x

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