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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 25

Encontre a derivada da função.

F (z) = sqrt((z - 1)/(z + 1))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos determinar a derivada da seguinte função:

F (z) = sqrt((z - 1)/(z + 1))

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

F (z) = sqrt((z - 1)/(z + 1)) = ((z - 1)/(z + 1))^((1)/(2))

Vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra da cadeia fazendo f ' (g (x)) = (1)/(2) ((z - 1)/(z + 1))^((1)/(2) - 1) e g ' (x) = ((z - 1)/(z + 1))^' :

F^' ( z ) = (1)/(2) ((z - 1)/(z + 1))^((1)/(2) - 1) . ((z - 1)/(z + 1))^' = (1)/(2) ((z - 1)/(z + 1))^(- (1)/(2)) . ((z - 1)/(z + 1))^'

Agora temos que usar a regra da divisão para calcular:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (z) = z - 1

e

g (z) = z + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

((z - 1)/(z + 1))^' = ((z - 1) ' . (z + 1) - (z - 1) . (z + 1) ')/((z + 1)^2)

Passo 3

Vamos calcular f ' ( z ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

(x^n)^' = n x^(n - 1) e (c)^' = 0

Assim:

f ' ( z ) = (z - 1)^' = z^(1 - 1) - 0 = z^0 = 1

Passo 4

Com g ' ( z ) é a mesma coisa:

g ' ( z ) = (z + 1)^' = z^(1 - 1) + 0 = z^0 = 1

Passo 5

Agora é só substituir na expressão:

((z - 1)/(z + 1))^' = (f^' (z) g (z) - f (z) g^(' (z)))/([g (z)]^2) :.

((z - 1)/(z + 1))^' = ((z - 1) ' . (z + 1) - (z - 1) . (z + 1) ')/((z + 1)^2) :.

((z - 1)/(z + 1))^' = (1 . (z + 1) - (z - 1) . 1)/((z + 1)^2) :.

((z - 1)/(z + 1))^' = (z + 1 - z + 1)/((z + 1)^2) :.

((z - 1)/(z + 1))^' = (2)/((z + 1)^2)

Passo 6

Agora voltamos a expressão do passo 2 para terminar:

F^' (z) = (1)/(2) ((z - 1)/(z + 1))^(- (1)/(2)) . ((z - 1)/(z + 1))^' :.

F^' (z) = (1)/(2) ((z - 1)/(z + 1))^(- (1)/(2)) . ((2)/((z + 1)^2)) :.

F^' (z) = (1)/(sqrt((z - 1)/(z + 1)) . (z + 1)^2)

Resposta

F ' (z) = (1)/(sqrt((z - 1)/(z + 1)) . (z + 1)^2)

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