Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 48
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação de movimento , onde m é a distância orientada da partícula a partir da origem em s. Ache a velocidade e a aceleração em s.
Passo 1
Quando temos uma equação do movimento que indica a posição de uma partícula em função do tempo , podemos obter as equações da velocidade e da aceleração derivando em relação a , uma e duas vezes, respectivamente.
Passo 2
Vamos então derivar a função obtendo . Temos aqui uma função potência com a base variável e o expoente também variável. Uma boa estratégia nesse caso é aplicar o logaritmo dos dois lados para então derivar. Aplicando dos dois lados, a equação fica assim:
Quando temos um expoente no logaritmando, podemos tirá-lo de dentro do log (regra do peteleco), então fica assim:
Agora podemos derivar dos dois lados.
Passo 3
Derivando agora os dois lados em relação a , temos, lembrando que :
Passando pro outro lado, obtemos então a expressão de :
Mas queremos a resposta em função de , e já sabems que , então chegamos no valor da velocidade em função de :
Passo 4
Agora pra acharmos a aceleração, basta derivarmos novamente em relação a . Usamos novamente a mesma estratégia. Partindo do valor da velocidade aplicamos dos dois lados:
Passo 5
Agora derivamos de novo os dois lados em relação a :
Acabamos de usar aqui a regra da cadeia para derivar . Resolvendo agora a equação:
Passando o pro outro lado, chegamos ao valor de :
Passo 6
Agora podemos achar os valores e que correspondem à velocidade e à aceleração em s.