Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.8 - Ex. 21
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
E aí pessoal, prontos para praticar a definição de derivada?
A ideia aqui será encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Além disso, queremos determinar os domínios da função original e da sua derivada. Saca só como faremos isso passo a passo!
Vamos começar lembrando que a derivada de uma função em um ponto é definida como o limite do quociente incremental conforme o intervalo tende a zero:
Para a nossa função, vamos calcular a derivada usando essa definição. Termos que substituir , teremos:
Aplicando na função :
Fazendo as multiplicações e o devido jogo de sinal, temos:
Podemos cancelar com e também com , simplificando:
Ta quase resolvido o limite! Vamos cancelar o do numerador com o do denominador:
Como o limite de qualquer constante é uma constante (fica atento nas propriedades de limite!), então teremos que:
Passo 2
Agora, devemos analisar quem são os domínios da função e de sua derivada. Como é uma função polinomial, logo não existem valores de x para os quais a expressão se torne indefinida, podemos afirmar de cara que seu domínio é o conjunto dos números reais . Isso acontece com qualquer função polinomial, sempre!
A mesma coisa acontece com a função constante – seu domínio é . Logo, teremos que os domínios de e são iguais e iguais à .
Prontinho, finalizamos!
Resposta
e tem o mesmo domínio, sendo este domínio o conjunto dos números reais .